數(shù)學(xué)學(xué)年論文畢業(yè)論文：關(guān)于定積分一些重要性質(zhì)的討論-預(yù)覽頁
【正文】 )(0?，則 F(0)=F(? )=0 而 xdxxf cos)(0?? =F(x)cosx| ?0 +??0 sin)( xdxxF =??0 sin)( xdxxF =F(y)siny=0,y?(0,? ) 推出 F(y)=0(若僅有 y?(0,? ),就不能推出 F(y)=0 , 因 sin0=sin? =0),由 F(0)=F(y)=F( ? )=0,對 F(x)在 [0,y],及 [y,? ]上應(yīng)用羅爾中值定理得 ：存在 y1? [0,y],y2?[y,? ] ，使 f(y1)=f(y2)=。 例 6 試求 f(x)=sinx 在 [0, ? ] 的平均值。 （ 2） 如果在滿足 fˊ (x)于 [a,b]連續(xù)的條件下，我們又可以通過第一中值定理來證明拉格朗日中值定理成立。 ),( ba? ,試證??nlim dxfnxnx nx)(1.? ?。= n? ? nxx dttf1. )(。=f(?n)n1 所以 dxfnxnx nx)(1.? ?。 故由 f(x)的連續(xù)性得： ??nlim dxfnxnx nx)(1.? ?。 =F(nx。 +1），使 F(nx。 =??nlimf( nn? )=f(x。 ) ? 0 ,不妨設(shè) f(x。 ) 因此對任意給定的 ? 0（設(shè) ? ? ），不妨設(shè) [x。 )| ? ，又由已知條件 |??。 )0 的假設(shè)矛盾，于是當 x ∈ [a， b] 時f(x)? 0 定 積分第二中值定理： 若 f(x)在 [a,b]上單調(diào)， g(x)可積， ? ? ∈ [a， b],使 ?ba dxxgxf )()(=f(a)??a dxxg )( +f(b)?b dxxg? )( 特別：（ 1）若 f(x)在 [a,b]上單調(diào)遞減且非負， g(x) 可積則 ? ? ∈ [a， b],使?ba dxxgxf )()( =f(a)??a dxxg )( （ 2）若 f(x)在 [a,b]上單調(diào)遞增且非負， g(x)可積，則 ? ? ∈ [a， b，使?ba dxxgxf )()( = f(b)?b dxxg? )( 其它重要性質(zhì) 及應(yīng)用 可導(dǎo)，可積，連續(xù)之間的關(guān)系 （ 1） 若 f(x)在 [a,b]上可積，則 F(x)=?xa dttf )(是 [a,b]上的連續(xù)函數(shù) . （ 2） 若 f(x)在 [a,b]中的點 x 處連續(xù)，則 f(x)在 x 點可導(dǎo)，且 Fˊ (x)=f(x) 由定積分定義 靈活解題 定義 如果 f(x)在 [a,b]可積，則對 [a,b]給以特殊的分劃，比如分成 n 等份，在每個小區(qū)間上也可以對 ?k給以特殊的取法，比如取 ?k=a+ nab )(? k, 則有 : 9 ?ba dxxf )( = ??nlim xknk kf ??? )(1 ? = ??nlim nab? )(1??nk kf ? 利用此結(jié)論，我們可以利用定積分的值而求出對應(yīng)的數(shù)列的極限值 例 9 求??nlim nnnnn )2).....(2)(1( ?? 解 因為 nnnnn )2).....(2)(1( ?? = )1). .. (1)(1( 21 nnnnn ??? = )1ln(11?? ?nk nken 所以 ??nlim nnnnn )2).....(2)(1( ?? =??nlim )1ln(11?? ?nk nken = )1ln(lim11 ?? ???nk nkne n =e dxx? ?10 )1ln( 而 ? ?10 )1ln( dxx=ln41,故??nlim nnnnn )2).....(2)(1( ?? =e dxx? ?10 )1ln( =e4 參 考文獻 ： [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著 . 數(shù)學(xué)分析（上） ,高等教育出版社， ， 144
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