數(shù)學學年論文畢業(yè)論文：關(guān)于定積分一些重要性質(zhì)的討論(文件)
【正文】 in)( xdxxf sin? ??0 cos)( xdxxf =0,這與 (*) 試矛盾 ,從而 f(x) 在 (0, ? )內(nèi)除 ? 之外必有另一零點 ? . 推論 1 （嚴格保序性） f（ x）， g（ x）在 [a， b]上連續(xù)， f（ x） ≤ g（ x）且 f（ x）不恒等于 g（ x）。 推論 3 設(shè) f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則存在 ? ∈ （ a,b），使： ?ba dxxf )(=f(? )(ba) 例 4 試證： dxxx? ?20 2^1sin? dxxx? ?20 2^1cos? 證法 1（用定理 2） dxx xx? ??20 2^1 cossin? = dxx xx? ??40 2^1 cossin? + dxx xx 2^1 cossin24 ????? = 2^11y? ? ?40 )cos(s in? dxxx + 2^11t?? ?24 )cos(s in?? dxxx =( 2 1)( 2^11t? 2^11y? )其中： 0y4? ,4? t2? 從而 dxx xx? ??20 2^1 cossin? 0,即 dxxx? ?20 2^1sin? dxxx? ?20 2^1cos? 證法 2（用推論 1），令 2? x=t,，則 dxx xx 2^1 cossin24 ?????= dxx xx? ?? ?420 2)^(1sincos? ? , dxx xx? ??40 2^1 cossin? = dxx xx? ??40 2^1 cossin? + dxx xx 2^1 cossin24 ?????= 6 ? ? dxxxxx )c os(s i n2)^(1 10 2^1 1 24 ?? ???? ?? 由于 0x4? ,2? xx,? ?2)^(1 12^1 1 2 xx ??? ? ?(sinxcosx)0 所以 dxx xx? ??20 2^1 cossin? 0 例 5（ 2020 年考研題） 設(shè) f(x)在 [0， ? ]連續(xù)。 積分第一中值定理的幾何意義： 若 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 y=f(x)在 [a,b ]上的曲邊梯形面積等于以推論 3 式所示的 f(? ) 為高 ,[a,b]為底的矩形面積，而 ab?1 ?ba dxxf )( 則可理解為 f(x) 在區(qū)間[a,b]上所有函數(shù)的平均值，這是通常有限個算術(shù)平均值的推廣。 7 事實上，令 F(x)=?xa dttf )((a≤ x≤ b )則 F(a)=0,F(b)=?ba dxxf )( 由于 f(x)于 [a,b]連續(xù)，于 (a,b)可導 ,且 Fˊ (x)=f(x),由拉格朗日中值定理可知，存在 y?(a,b) 使 ?ba dxxf )(=F(b)F(a)=Fˊ (y)(ba)=f(y)(ba) 于是命題得證。 例 7 設(shè) f(x)在 [a,b]上連續(xù) ,x。作變換 t= nx ,則 dxfnxnx nx)(1.? ?。 +n1 ]，使 ? ? nxx dttf1. )(。 ,所以??nlim ?n=x。 + n1 ? b,令 F(x)= dtfxna nt )(?(na ? x ? nb),則dxfnxnx nx)(1.? ?。 nx。 所以 ??nlim dxfnxnx nx)(1.? ??！?[a， b]，使 f(x。 | ? 時， f(x)21 f(x。xx dxxf? )(|? 21 | f(x。 )=0, 這與 f(x。 [4] 魏國強編著 .高等數(shù)學研究 ,西北工業(yè)大學出版社， ， 5860。 [2] 賈建華 , 王克芬
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