高中數(shù)學人教a版選修2-2教學課件：2、2章末(已修改)
2025-11-28 19:03 本頁面
【正文】 歸納是通過對特例的觀察和綜合去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，一般通過觀察圖形或分析式子尋找規(guī)律，歸納過程的典型步驟是：先在諸多特例中發(fā)現(xiàn)某些相似性，再把相似性推廣為一個明確表述的一般命題，最后對該命題進行檢驗或論證． [例 1] 在德國布萊梅舉行的第 48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆 “ 正三棱錐 ” 形的展品，其中第 1堆只有一層，就一個乒乓球；第 2,3, ? 堆最底層 (第一層 )分別按如圖所示方式固定擺放．從第二層開始，每層的乒乓球自然壘放在下一層之上，第 n堆第 n層就放一個乒乓球，以 f(n)表示第 n堆的乒乓球總數(shù)，則 f(3)＝________； f(n)＝ ________(答案用 n表示 )． [ 解析 ] f (1) ＝ 1 ，觀察圖可知 f (2) ＝ 4 ， f (3) ＝ 10 ， f (4)＝ 20 ，即下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層的個數(shù)，而第一層的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列 1,3,6,10 ， ? ，其第 n 項是n ( n ＋ 1 )2，所以 f ( n ) ＝ f ( n － 1) ＋n ( n ＋ 1 )2，所以有 f (2) － f (1)＝2 ( 2 ＋ 1 )2， f (3) － f (2) ＝3 ( 3 ＋ 1 )2， f (4) － f (3 ) ＝4 ( 4 ＋ 1 )2， ? ， f ( n ) － f ( n － 1) ＝n ( n ＋ 1 )2. 以上各式相加，整理得 f ( n ) ＝ f (1) ＋22＋ 2 ＋ 32＋ 3 ＋ 42＋ 4 ＋ ? ＋ n2＋ n2 ＝12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2＋ 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n2 ＝n ( n ＋ 1 ) ( 2 n ＋ 1 )6＋n ( n ＋ 1 )22＝n ( n ＋ 1 ) ( n ＋ 2 )6. [ 答案 ] 10 ；n ( n ＋ 1 ) ( n ＋ 2 )6 類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉，是一種較高層次的信息遷移，應(yīng)用類比的關(guān)鍵就在于如何把相關(guān)對象在某些方面的一致性說清楚．常見的類比題型有兩類：一類是類比舊知識，推出新結(jié)論；另一類是類比新知識，推出新結(jié)論． [例 2] 如圖 ① 所示，在 △ ABC中，射影定理可表示為a＝ bcosC＋ ccosB，其中 a， b， c分別為角 A， B， C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想． [解析 ] 如圖 ② 所示 ， 在四面體 P－ ABC中 ， 設(shè) S1， S2，S3， S分別表示 △ PAB， △ PBC， △ PCA， △
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