大學(xué)物理第5章剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(已修改)
2025-08-27 21:56 本頁面
【正文】 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 167。 剛體平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 二、剛體運(yùn)動(dòng)的分類 平動(dòng) 剛體中任意兩質(zhì)點(diǎn)連線在運(yùn)動(dòng)過程中保持平行的運(yùn)動(dòng)，稱為 平動(dòng) 。 此類運(yùn)動(dòng)，任意兩點(diǎn)的軌道形狀、速度、加速度都相同。 一、質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)性質(zhì)的分類 剛體 任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)系，稱為 剛體 。 變形體 至少一對質(zhì)點(diǎn)間距可變的質(zhì)點(diǎn)系，稱為 變形體 。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，能且只能在剛體上找到兩點(diǎn)保持不動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)還包含以下幾種特殊形式： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 、 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 、 平面平行運(yùn)動(dòng) 等。 剛體中至少（任意）兩質(zhì)點(diǎn)連線在運(yùn)動(dòng)過程中方向變化的運(yùn)動(dòng)，稱為 轉(zhuǎn)動(dòng) 。 Rigid body Rotational theorem 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有以下特征： 1 、任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道都是圓軌道，并且圓心是軌道面與定軸的交點(diǎn)。 2 、所有質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都相同，線速度與該質(zhì)點(diǎn)到定軸的距離成正比。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 轉(zhuǎn)動(dòng)平面 某質(zhì)點(diǎn)所在的圓周平面，稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)平面 。 三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 角位矢（角坐標(biāo)）、角位移、角速度、角加速度。 以剛體上任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過該點(diǎn)垂直于轉(zhuǎn)軸的直線為 X 軸，轉(zhuǎn)軸為 Z 軸。 轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)任一過轉(zhuǎn)軸的直線，如選 x 軸。 坐標(biāo)系 參考線 轉(zhuǎn)心 某質(zhì)點(diǎn)所在的軌跡圓的圓心，稱為 轉(zhuǎn)心 。 矢徑 某質(zhì)點(diǎn)對其轉(zhuǎn)心的位矢，稱為該質(zhì)點(diǎn)的 矢徑 。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) o — 描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。 ?Px轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)剛體上任一點(diǎn) P 到轉(zhuǎn)軸 O 點(diǎn)的連線與參考線間的夾角 。 單位：弧度， rad 角坐標(biāo)為 標(biāo)量 。 Reference line 角位矢的大小等于角坐標(biāo)，其方向由右手螺旋法則確定，或規(guī)定正方向（逆時(shí)針）后由其值的正負(fù)確定。 ??角坐標(biāo) 顯然：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有點(diǎn)有相同的角量，故用角量描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)更方便，只需確定轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)任一點(diǎn)的角量即可。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) o — 描寫剛體位置變化的物理量。 0?Px?剛體初始角坐標(biāo) 0?末態(tài)角坐標(biāo) ?剛體的角位移 0? ? ?? ? ?單位：弧度， rad 角位移是贗矢量，對無限小轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量： 0??? 時(shí)是矢量。 角位移方向的確定方法同角位矢。 d?Reference line 即： 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) — 描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角速度 t?? ???即：剛體的角位移與發(fā)生這段角位移所用時(shí)間之比。 ?單位：弧度 /秒， rad/s， s1 轉(zhuǎn) /分， rev/min 121 r e v / m i n r a d / s 0 . 1 0 5 s60??? 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) ⑵ 角速度 ① 用平均角速度代替變化的角速度； ② 令 0t?? 取極限； 0l imtdt dt?????????即：角速度為角坐標(biāo)對時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)。 ?方向： 右手四指沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向，伸直的大拇指的指向?yàn)榻撬俣鹊姆较颉? 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度方向只有兩個(gè)，因此在規(guī)定正方向（逆時(shí)針方向）后，角速度方向可用其值的正負(fù)表示。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) — 描寫角速度變化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t?? ???即：剛體的角速度變化與發(fā)生變化所用的時(shí)間之比。 ⑵ 角加速度 ① 用平均角加速度代替變化的角加速度； ?② 令 0t?? 取極限； 即：角速度對時(shí)間 t 的一次導(dǎo)數(shù)，或角位矢對時(shí)間 t 的二次導(dǎo)數(shù)。 220l imtddt dt dt? ? ?????? ? ??重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 單位：弧度 /秒 2 ， rad/s2,s2 方向：角速度變化的方向。 ??o??o?? 角加速度是矢量，但對于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的方向只有兩個(gè)，只用角加速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 一、力矩 力對轉(zhuǎn)軸的力矩等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力 F 的大小和 F 與軸之間的垂直距離 d 的乘積。 s i nM F d r F ???M Fd?根據(jù)矢量乘積法則： s i nA B A B ???用矢量方法表示力矩： M r F??167。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 為外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分矢量 F?MrFodrP重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) M 的方向垂直于 r 與 F 構(gòu)成的平面：規(guī)定正方向后，力矩的方向可由正負(fù)號確定。 容易證明： 剛體內(nèi)各質(zhì)元間的內(nèi)力力矩的矢量和恒為 0 。 單位：牛頓 米， N m 方向： 從 r右旋到 F，大拇指指向。 ?MrF重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 解： 桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大， 細(xì)桿的質(zhì)量密度 ml? ?質(zhì)元質(zhì)量 d m d x??質(zhì)元受阻力矩 fd M d mg x???mlodmdxxx例： 一勻質(zhì)細(xì)桿，長為 l 質(zhì)量為 m，在摩擦系數(shù)為 m的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩 Mf。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 細(xì)桿受的阻力矩 0212fflM d Mg x d xgl???????????由細(xì)桿質(zhì)量 ml??12fM m g l???有 mlodmdxxx重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 由牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo) 根據(jù)牛頓第二定律有： ? ? ? ?eii i i iF F m a??? ? ? ?? ? ? ?? ? 2s i n s i nc o s c o siiiieii i i i i ieii i i i n i iF F m a m rF F m a m r?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?ZO?? ??,P? ?eiFir?i?i?二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 切向： 法
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