【正文】 若小球以角速度 ?0 轉(zhuǎn)動(dòng)，用力 F 拉線，使轉(zhuǎn)動(dòng)半徑從 r0 減小到 r0/2 。 重力矩作功： 20W M d??? ?重20c o s2lmg d???? ?m gl21?例： 一細(xì)桿質(zhì)量為 m，長(zhǎng)度為 l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。 在此過(guò)程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)槿耸毡蹠r(shí)做功。 m 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 例 1： 再以繞長(zhǎng)為 l,質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)為例，利用平行軸定理計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 。 m2 上式只適用于 離散 質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算。 ?MrF重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 解： 桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大， 細(xì)桿的質(zhì)量密度 ml? ?質(zhì)元質(zhì)量 d m d x??質(zhì)元受阻力矩 fd M d mg x???mlodmdxxx例： 一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為 l 質(zhì)量為 m，在摩擦系數(shù)為 m的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩 Mf。 ⑴ 平均角速度 t?? ???即：剛體的角位移與發(fā)生這段角位移所用時(shí)間之比。 2 、所有質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都相同，線速度與該質(zhì)點(diǎn)到定軸的距離成正比。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)還包含以下幾種特殊形式： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 、 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 、 平面平行運(yùn)動(dòng) 等。 0?Px?剛體初始角坐標(biāo) 0?末態(tài)角坐標(biāo) ?剛體的角位移 0? ? ?? ? ?單位：弧度， rad 角位移是贗矢量，對(duì)無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量： 0??? 時(shí)是矢量。 單位：牛頓 例： 測(cè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用一根輕繩纏繞在半徑為 R ，質(zhì)量為 M 的輪子上若干圈后，一端掛一質(zhì)量為 m 的物體，從靜止下落 h 用了時(shí)間 t,求輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 。 解： RMo dm2 2 200MMJ R d m R d m M R? ? ???分割質(zhì)點(diǎn) dm 圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)到軸的距離相等， 繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2J M R?重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 例 5： 半徑為 R 質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 。 單位：牛頓 m2，伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為 1m，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為 心上，每只手抓有質(zhì)量 m=5kg的啞鈴。 ， Eko、 Ek。選擇地面為 0勢(shì)能面，以桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，有： 221co s2121 ?? Jm glm gl ??lg( )c o s13 ?? ??????? s i n23s i n3121 lglgdtd ????lm,mg?垂直向里。 LL ?0?? JJ ?00?? 2020 mrmr ?2/0rr ?04 ?? ?? 半徑減小角速度增加。 ?? 221 mvm g h ?221 ?J 21 kh例： 如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為 k的彈簧開(kāi)始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為 R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，質(zhì)量為 m 的物體從靜止開(kāi)始下落 ,求下落 h 時(shí)物體的速度 v。 由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 ，有 dtrdrdvdmdtvdmFdtdddJdtdJM ?????????? ????? ????vdvmrdFdJdM ???????? ??????? ???????????????????? 22 2121 mvdrdFJddM ???? ??M為常數(shù)時(shí)： 力的元功 動(dòng)能 力矩的元功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 167。 （考慮產(chǎn)生力矩的力）。 解： 繞圓盤質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 212CJ M R?2 2 21322J M R M R M R? ? ?RJCJR MC2CJ J md??由 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 垂直軸定理： 質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。 ③ 與軸的位置有關(guān)。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 瞬時(shí)性；即同一時(shí)刻對(duì)同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度方向只有兩個(gè)，因此在規(guī)定正方向（逆時(shí)針?lè)较颍┖?，角速度方向可用其值的正?fù)表示。 以剛體上任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)垂直于轉(zhuǎn)軸的直線為 X 軸，轉(zhuǎn)軸為 Z 軸。 一、質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)性質(zhì)的分類 剛體 任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)系，稱為 剛體 。 Reference line 角位矢的大小等于角坐標(biāo)，其方向由右手螺旋法則確定，或規(guī)定正方向（逆時(shí)針）后由其值的正負(fù)確定。 s i nM F d r F ???M Fd?根據(jù)矢量乘積法則： s i nA B A B ???用矢量方法表示力矩： M r F??167。 lo重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 解： 以細(xì)桿為研究對(duì)象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式： 0 t? ? ???0 0t????0t?? ??細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 213J m l?lo重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 則摩擦阻力矩為： 2 013fMJmlt?????2013fM m lt ???lo重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 第二類問(wèn)題： 已知 J 和力矩 M：求出運(yùn)動(dòng)情況和 b及 F 。 解： 細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為： ml? ?建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)選在一端。 m2/s 方向：與角速度方向一致。 ④ . 角動(dòng)量總是守恒定律對(duì)非剛體同樣成立，但 J是變化的。 如果研究對(duì)象中既有平動(dòng)物體（質(zhì)點(diǎn)、剛體）又有轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，在考慮剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的情況下，可將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律推廣到包含剛體的物體系。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 例 3： 質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為 l 的細(xì)桿一端固定在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，試計(jì)算當(dāng)細(xì)桿 自由 擺至與豎直方向成 ? 角時(shí)的角加速度和角速度。 但在本題中，小球受的拉力與位移并不垂直，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線，法向力要作功。 12()F r F R J J ?? ? ?由圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 思考題 F211 21 RmJ ? 222 21 rmJ ?22122 ( ) 0F r Rm R m r? ????得： ?為負(fù)表示順時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)。 d?drnFF?c o sbaW F d s ??? ?d s r d??c o s ,FF?? ?其中： 則： oW F r d? ?? ??? ?由功的定義 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 力矩的功： 即力矩對(duì)角位矢的積分。