【正文】 ?? ?其中： 則： oW F r d? ?? ??? ?由功的定義 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 力矩的功： 即力矩對角位矢的積分。 。 12()F r F R J J ?? ? ?由圓盤的轉(zhuǎn)動慣量： 思考題 F211 21 RmJ ? 222 21 rmJ ?22122 ( ) 0F r Rm R m r? ????得： ?為負表示順時針加速轉(zhuǎn)動。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 例 4： 在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為 M、長為 2l 、可繞中心轉(zhuǎn)動的細桿，有一質(zhì)量為 m 的小球以速度 vo 與桿的一端發(fā)生 完全彈性碰撞，求小球的反彈速度 v 及桿的轉(zhuǎn)動角速度 ? 。 但在本題中，小球受的拉力與位移并不垂直，小球的運動軌跡為螺旋線，法向力要作功。 o解： （ 1）由于線的張力過軸，小球受的合外力矩為 0，角動量守恒。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 例 3： 質(zhì)量為 m、長為 l 的細桿一端固定在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動，試計算當細桿 自由 擺至與豎直方向成 ? 角時的角加速度和角速度。 選擇彈簧原長為彈性 0 勢點，物體下落 h 時為重力 0 勢點。 如果研究對象中既有平動物體（質(zhì)點、剛體）又有轉(zhuǎn)動剛體，在考慮剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能的情況下，可將質(zhì)點系的動能定理、功能原理和機械能守恒定律推廣到包含剛體的物體系。下面我們將把力的功改用力矩的功代替。 ④ . 角動量總是守恒定律對非剛體同樣成立，但 J是變化的。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 。 m2/s 方向：與角速度方向一致。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 例 2： 半徑為 R 質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直于圓盤平面的邊緣軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J 。 解： 細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為： ml? ?建立坐標系，坐標原點選在一端。 ② 與質(zhì)量對軸的分布有關。 lo重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 解： 以細桿為研究對象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動公式： 0 t? ? ???0 0t????0t?? ??細桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量 213J m l?lo重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 則摩擦阻力矩為： 2 013fMJmlt?????2013fM m lt ???lo重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 第二類問題： 已知 J 和力矩 M：求出運動情況和 b及 F ?？稍谇邢蚍匠虄蛇叧艘? ，得到： ir 對所有質(zhì)點求和，且它們的角加速度 β 均相同，有： 合外力矩 合內(nèi)力矩 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 ? ? s i n 0iiiiiFr ? ?? 因為內(nèi)力中任一對作用力和反作用力的力矩為零，所以 : 令 ? ? 211s i n ,innei i i iiiM F r J m r???????則 MJ ??定軸轉(zhuǎn)動定律 —— 剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。 s i nM F d r F ???M Fd?根據(jù)矢量乘積法則： s i nA B A B ???用矢量方法表示力矩： M r F??167。 ?方向： 右手四指沿剛體轉(zhuǎn)動方向，伸直的大拇指的指向為角速度的方向。 Reference line 角位矢的大小等于角坐標，其方向由右手螺旋法則確定，或規(guī)定正方向（逆時針）后由其值的正負確定。 三、剛體轉(zhuǎn)動的角量描述 角位矢（角坐標）、角位移、角速度、角加速度。 一、質(zhì)點系力學性質(zhì)的分類 剛體 任意兩質(zhì)點間距離不變的質(zhì)點系，稱為 剛體 。 變形體 至少一對質(zhì)點間距可變的質(zhì)點系，稱為 變形體 。 以剛體上任一點為坐標原點，過該點垂直于轉(zhuǎn)軸的直線為 X 軸，轉(zhuǎn)軸為 Z 軸。 ??角坐標 顯然：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有點有相同的角量，故用角量描述剛體的轉(zhuǎn)動更方便，只需確定轉(zhuǎn)動平面內(nèi)任一點的角量即可。 定軸轉(zhuǎn)動的角速度方向只有兩個，因此在規(guī)定正方向（逆時針方向）后，角速度方向可用其值的正負表示。 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 為外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分矢量 F?MrFodrP重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 M 的方向垂直于 r 與 F 構成的平面：規(guī)定正方向后，力矩的方向可由正負號確定。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 瞬時性；即同一時刻對同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言。 例： 質(zhì)量為 m1 和 m2 兩個物體，跨在定滑輪上 m2 放在光滑的桌面上，滑輪半徑為 R ，質(zhì)量為 M ，求： m1 下落的加速度，和繩子的張力 T1,T2 。 ③ 與軸的位置有關。取質(zhì)點 dm，長度為 dx。 解： 繞圓盤質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為： 212CJ M R?2 2 21322J M R M R M R? ? ?RJCJR MC2CJ J md??由 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 垂直軸定理： 質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。 動量矩 對參考點的 動量矩 ：對該點的轉(zhuǎn)動慣量與角速度之積 ,亦稱為 角動量 。 （考慮產(chǎn)生力矩的力）。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 再如：跳水運動員的“曲身 — 展體”動作，當運動員跳水時曲身，轉(zhuǎn)動慣量較小，轉(zhuǎn)速較快；在入水前展體，轉(zhuǎn)動慣量增大，轉(zhuǎn)速降低，垂直入水。 由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 ，有 dtrdrdvdmdtvdmFdtdddJdtdJM ?????????? ????? ????vdvmrdFdJdM ???????? ??????? ???????????????????? 22 2121 mvdrdFJddM ???? ??M為常數(shù)時： 力的元功 動能 力矩的元功 轉(zhuǎn)動動能 167。 注意： 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 四、應用轉(zhuǎn)動動能定理解題方法 。 ?? 221 mvm g h ?221 ?J 21 kh例： 如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為 k的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為 R、轉(zhuǎn)動慣量為 J，質(zhì)量為 m 的物體從靜止開始下落 ,求下落 h 時物體的速度 v。 ?lm,解法一： 由轉(zhuǎn)動定律， ?JM ?mg?? 231s in2 mllmg ?