大學(xué)物理第5章剛體定軸轉(zhuǎn)動-wenkub
2022-09-12 21:56:34 本頁面
【正文】 013fMJmlt?????2013fM m lt ???lo重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 第二類問題： 已知 J 和力矩 M：求出運動情況和 b及 F 。 2. 受力分析，并求外力的力矩。可在切向方程兩邊乘以 ，得到： ir 對所有質(zhì)點求和，且它們的角加速度 β 均相同，有： 合外力矩 合內(nèi)力矩 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) ? ? s i n 0iiiiiFr ? ?? 因為內(nèi)力中任一對作用力和反作用力的力矩為零，所以 : 令 ? ? 211s i n ,innei i i iiiM F r J m r???????則 MJ ??定軸轉(zhuǎn)動定律 —— 剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。 米， N s i nM F d r F ???M Fd?根據(jù)矢量乘積法則： s i nA B A B ???用矢量方法表示力矩： M r F??167。 ⑵ 角加速度 ① 用平均角加速度代替變化的角加速度； ?② 令 0t?? 取極限； 即：角速度對時間 t 的一次導(dǎo)數(shù)，或角位矢對時間 t 的二次導(dǎo)數(shù)。 ?方向： 右手四指沿剛體轉(zhuǎn)動方向，伸直的大拇指的指向為角速度的方向。 角位移方向的確定方法同角位矢。 Reference line 角位矢的大小等于角坐標(biāo)，其方向由右手螺旋法則確定，或規(guī)定正方向（逆時針）后由其值的正負(fù)確定。 矢徑 某質(zhì)點對其轉(zhuǎn)心的位矢，稱為該質(zhì)點的 矢徑 。 三、剛體轉(zhuǎn)動的角量描述 角位矢（角坐標(biāo)）、角位移、角速度、角加速度。 剛體中至少（任意）兩質(zhì)點連線在運動過程中方向變化的運動，稱為 轉(zhuǎn)動 。 一、質(zhì)點系力學(xué)性質(zhì)的分類 剛體 任意兩質(zhì)點間距離不變的質(zhì)點系，稱為 剛體 。重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 167。 變形體 至少一對質(zhì)點間距可變的質(zhì)點系，稱為 變形體 。 Rigid body Rotational theorem 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 定軸轉(zhuǎn)動有以下特征： 1 、任意一點的運動軌道都是圓軌道，并且圓心是軌道面與定軸的交點。 以剛體上任一點為坐標(biāo)原點，過該點垂直于轉(zhuǎn)軸的直線為 X 軸，轉(zhuǎn)軸為 Z 軸。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) o — 描寫剛體轉(zhuǎn)動位置的物理量。 ??角坐標(biāo) 顯然：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有點有相同的角量，故用角量描述剛體的轉(zhuǎn)動更方便，只需確定轉(zhuǎn)動平面內(nèi)任一點的角量即可。 d?Reference line 即： 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) — 描寫剛體轉(zhuǎn)動快慢和方向的物理量。 定軸轉(zhuǎn)動的角速度方向只有兩個，因此在規(guī)定正方向（逆時針方向）后，角速度方向可用其值的正負(fù)表示。 220l imtddt dt dt? ? ?????? ? ??重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 單位：弧度 /秒 2 ， rad/s2,s2 方向：角速度變化的方向。 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 為外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分矢量 F?MrFodrP重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) M 的方向垂直于 r 與 F 構(gòu)成的平面：規(guī)定正方向后，力矩的方向可由正負(fù)號確定。 m 方向： 從 r右旋到 F，大拇指指向。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 瞬時性；即同一時刻對同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言。 3. 列方程求解 平動物體 牛頓第二定律或動量定理 轉(zhuǎn)動剛體 轉(zhuǎn)動定理 第一類問題： 已知運動情況和 J，確定運動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系 第二類問題： 已知 J和力矩 M：求出運動情況和 b及 F 。 例： 質(zhì)量為 m1 和 m2 兩個物體，跨在定滑輪上 m2 放在光滑的桌面上，滑輪半徑為 R ，質(zhì)量為 M ，求： m1 下落的加速度，和繩子的張力 T1,T2 。 米 2 ， kg ③ 與軸的位置有關(guān)。 解： 細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為： ml? ?建立坐標(biāo)系，原點選在質(zhì)心。取質(zhì)點 dm，長度為 dx。 2CJ J md?? JCJdmC剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。 解： 繞圓盤質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為： 212CJ M R?2 2 21322J M R M R M R? ? ?RJCJR MC2CJ J md??由 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 垂直軸定理： 質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。 ( ω ) ( )M d J d m vFd t d t? ? ?167。 動量矩 對參考點的 動量矩 ：對該點的轉(zhuǎn)動慣量與角速度之積 ,亦稱為 角動量 。秒， N （考慮產(chǎn)生力矩的力）。 ① .對于剛體定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量 J 為常數(shù)，角速度 ? 也為常數(shù)， ? = ?o 即剛體在外力矩的矢量和為 0 時，如原來靜止，則永遠(yuǎn)保持靜止，原來轉(zhuǎn)動的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動下去。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 再如：跳水運動員的“曲身 — 展體”動作，當(dāng)運動員跳水時曲身，轉(zhuǎn)動慣量較小，轉(zhuǎn)速較快；在入水前展體，轉(zhuǎn)動慣量增大，轉(zhuǎn)速降低，垂直入水。s1，求收臂時的角速度 ?2 ，機械能是否守恒？ 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 解： 整個過程合外力矩為 0 ，角動量守恒， 2211 ?? JJ ?21 0 12J J m l??26 0 2 5 1? ? ? ?2202 2 mlJJ ?? ????27 0k g m?? ??2112 JJ ?? ?703 ???由轉(zhuǎn)動慣量的減小，角速度增加。 由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 ，有 dtrdrdvdmdtvdmFdtdddJdtdJM ?????????? ????? ????vdvmrdFdJdM ???????? ??????? ???????????????????? 22 2121 mvdrdFJddM ???? ??M為常數(shù)時： 力的元功 動能 力矩的元功 轉(zhuǎn)動動能 167。 M r F F r?? ? ?由于： c o s 0 oM d M d F r d?? ? ?? ? ?令： d W M d ???則： oW M d?? ?? ? ??oW F r d? ?? ??? ??比較： 轉(zhuǎn)動功 平動功 d W M d ???d W F d r??重大數(shù)理學(xué)院 趙承均
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