【正文】 ? ?0toot M d t L L J ??? ? ? ??重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 由沖量矩定理： 條件：當(dāng)剛體所外力矩的矢量和為 0 時， 三、角動量守恒率 rIL? ? ?即： 0rI??0L??oLL?o???或： 角動量守恒定律： 當(dāng)合外力矩矢量和為 0 時，剛體的角動量守恒。 對定軸轉(zhuǎn)動： amFdt ωdJβJM ?????????當(dāng) J 為常量時： 這是角動量定理的一般形式。 解： 由轉(zhuǎn)動慣量的定義 b3bom2m? ?21222311NiiiJ m rm b m bmb??????重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 例 2： 長為 l，質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J 。 2. 受力分析，并求外力的力矩。 ⑵ 角加速度 ① 用平均角加速度代替變化的角加速度； ?② 令 0t?? 取極限； 即：角速度對時間 t 的一次導(dǎo)數(shù)，或角位矢對時間 t 的二次導(dǎo)數(shù)。 矢徑 某質(zhì)點對其轉(zhuǎn)心的位矢，稱為該質(zhì)點的 矢徑 。重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 167。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) o — 描寫剛體轉(zhuǎn)動位置的物理量。 220l imtddt dt dt? ? ?????? ? ??重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 單位：弧度 /秒 2 ， rad/s2,s2 方向：角速度變化的方向。 3. 列方程求解 平動物體 牛頓第二定律或動量定理 轉(zhuǎn)動剛體 轉(zhuǎn)動定理 第一類問題： 已知運動情況和 J，確定運動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系 第二類問題： 已知 J和力矩 M：求出運動情況和 b及 F 。 解： 細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為： ml? ?建立坐標(biāo)系，原點選在質(zhì)心。 ( ω ) ( )M d J d m vFd t d t? ? ?167。 ① .對于剛體定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量 J 為常數(shù)，角速度 ? 也為常數(shù)， ? = ?o 即剛體在外力矩的矢量和為 0 時，如原來靜止，則永遠保持靜止，原來轉(zhuǎn)動的將永遠轉(zhuǎn)動下去。 M r F F r?? ? ?由于： c o s 0 oM d M d F r d?? ? ?? ? ?令： d W M d ???則： oW M d?? ?? ? ??oW F r d? ?? ??? ??比較： 轉(zhuǎn)動功 平動功 d W M d ???d W F d r??重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 即轉(zhuǎn)動功率為 : 由功率的定義： dW M dPMdt dt? ??? ? ? ?二、力矩的功率 比較： 轉(zhuǎn)動功率 平動功率 PM ??? P F v??PM ???重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 其中： —— 轉(zhuǎn)動動能 oW J d?????? ? 221122 oJJ??????? dM ? —— 力矩的元功 221 ?J對任意定軸轉(zhuǎn)動過程（ J =常數(shù)）： 三、轉(zhuǎn)動的動能定理 剛體在力矩作用下轉(zhuǎn)過一定角度，力矩對剛體做了功，其效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 例 2： 光滑斜面傾角為 ?，頂端固定半徑為 R ，質(zhì)量為 M 的定滑輪。 。 ?RM,m解： 物體系中先以物體 m 研究對象，受力分析 , maTmg ???s i nmgTx在斜面 x 方向上 221 MRJ ?定滑輪可視為圓盤，轉(zhuǎn)動慣量： ?JTR ?對滑輪： 補充方程： ?Ra ?聯(lián)立得到： Mmmga?? 2s i n2 ?因待求量為加速度，所以不宜用功能關(guān)系或角動量定理處理。 比較： 轉(zhuǎn)動 動能定理 平動 動能定理 則： 即： kWE? ? ?或： 2201122o M d J J??? ? ?? ? ??212o M d J??????? ? ? ?????212orrF d r m v??? ? ? ?????重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 如果剛體既有平動又有轉(zhuǎn)動 —— 剛體的平面平行運動，則其總動能包含其（質(zhì)心）的平動動能和繞過質(zhì)心的垂直軸的轉(zhuǎn)動動能。 ③ . 質(zhì)點在有心力作用下的角動量總是守恒的。米 2/秒，kg d m d x??m lox2l?2ldmdxx222 2 222112llllJ x d m x d x m l???? ? ???繞細桿質(zhì)心垂軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2112J m l?重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 例 3： 長為 l,質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細桿，繞細桿一端轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J 。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 第一類問題： 已知運動情況和 J ，確定運動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系 例 ： 長為 l,質(zhì)量為 m 的細桿，初始時的角速度為 ω o ，由于細桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間 t 后桿靜止，求摩擦力矩 Mf。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 一、力矩 力對轉(zhuǎn)軸的力矩等于在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力 F 的大小和 F 與軸之間的垂直距離 d 的乘積。 單位：弧度， rad 角坐標(biāo)為 標(biāo)量 。 此類運動，任意兩點的軌道形狀、速度、加速度都相同。 轉(zhuǎn)動平面內(nèi)任一過轉(zhuǎn)軸的直線，如選 x 軸。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) — 描寫角速度變化快慢和方向的物理量。 注意 F m a?與牛頓第二定律 相比較，地位相當(dāng)， 在定軸轉(zhuǎn)動中， 和 的方向均在轉(zhuǎn)軸方向，可用代數(shù)量表示。 重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，計算轉(zhuǎn)動慣量時，將剛體分割成無限多個質(zhì)元， ?rdm① 確定剛體的質(zhì)量密度； ② 建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)心為坐標(biāo)原點； ③ 確定質(zhì)量元 dm ； ④ 由定義計算。 z x yJ J J??定理證明： ozyxdmxy2xJ y dm? ?對于平面剛體，繞 x、 y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為： 2yJ x dm? ?重大數(shù)理學(xué)院 趙承均 第一篇 力學(xué) 22222()zxyJ z d m