最小二乘法線性和非線性擬合(已修改)
2025-08-17 08:13 本頁面
【正文】 1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 擬 合 2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。 直觀了解擬合基本內(nèi)容。 擬合問題引例及基本理論。 實(shí)驗(yàn)作業(yè)。 用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。 應(yīng)用實(shí)例 3 擬 合 1. 擬合問題引例 4 擬 合 問 題 引 例 1 溫度 t(0C) 電阻 R(?) 765 826 873 942 1032 已知熱敏電阻數(shù)據(jù)： 求 600C時(shí)的電阻 R。 20 40 60 80 10070080090010001100 設(shè) R=at+b a,b為待定系數(shù) 5 擬 合 問 題 引 例 2 t (h) 1 2 3 4 6 8 c (?g/ml) 已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù) (t=0注射 300mg) 求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律 c(t). 作半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系 (semilogy)下的圖形 為待定系數(shù)kcectc kt,)( 0 ??0 2 4 6 8100101102MATLAB(aa1) 6 曲 線 擬 合 問 題 的 提 法 已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個(gè)點(diǎn) （ xi,yi) i=1,…n, 尋求一個(gè)函數(shù)（曲線） y=f(x), 使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi,yi) ?i ?i 為點(diǎn) （ xi,yi) 與 曲線 y=f(x) 的距離 7 擬合與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 實(shí)例： 下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到 X和 f之間的關(guān)系？ x 1 2 4 7 9 12 13 15 17f 1 . 5 3 . 9 6 . 6 1 1 . 7 1 5 . 6 1 8 . 8 1 9 . 6 2 0 . 6 2 1 . 1MATLAB() 問題： 給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面 解決方案： ?若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢，這就是 數(shù)據(jù)擬合 ，又稱曲線擬合或曲面擬合。 ?若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是 插值問題 ； 8 最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180510152025已已已已已spline已已已已已已已0 2 4 6 8 10 12 14 16 180510152025已已已已已linest已已已已已已已0246810121416180510152025已已已已已nearest 已已已已已已已9 曲線擬合問題最常用的解法 —— 線性最小二乘法的基本思路 第一步 :先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), …r m(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+a mrm(x) （ 1） 其中 a1,a2, …a m 為待定系數(shù)。 第二步 : 確定 a1,a2, …a m 的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）： 使 n個(gè)點(diǎn) （ xi,yi) 與 曲線 y=f(x) 的距離 ?i 的平方和最小 。 記 )2(])([])([),(21 121 1221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ?????? ?? ?? ?? ???問題歸結(jié)為，求 a1,a2, …a m 使 J(a1,a2, …a m) 最小。 10 線性最小二乘法的求解：預(yù)備知識(shí) 超定方程組 ：方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的方程組 ??????????????)( 221111212111mnyarararyarararnmnmnnmm???? 即 Ra=y ?????????????????????????????????nmnmnnmyyyaaarrrrrrR ???????? 112111211,其中 超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。 如果有向量 a使得 達(dá)到最小， 則稱 a為上述 超定方程的最小二乘解 。 212211 )( imniimii yararar ???????11 線性最小二乘法的求解 定理： 當(dāng) RTR可逆時(shí)，超定方程組（ 3）存在最小二乘解，且即為方程組 RTRa=RTy 的解： a=(RTR)1RTy 所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問題，實(shí)際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問題。 ?????????????????????????????????nmnmnmyyyaaaxrxrxrxrR ?????? 111111,)()()()(其中 Ra=y （ 3） 12 線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ …+a mrm(x)中函數(shù) {r1(x), … rm(x)}的選取 1. 通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定 f(x)； + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2x f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2/x f=aebx f=aebx 2. 將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1
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