【正文】 第五章 實(shí)驗數(shù)據(jù)及模型參數(shù)擬合方法 第五章 實(shí)驗數(shù)據(jù)及模型參數(shù)擬合方法 第一節(jié) 問題的提出 第一節(jié) 問題的提出 在化工設(shè)計及化工模擬計算中，需要大量的物性參數(shù)及各種設(shè)備參數(shù)。這些參數(shù)有些可以通過計算得到，但大量的參數(shù)還是要通過實(shí)驗測量得到。實(shí)驗測量得到的常常是一組離散數(shù)據(jù)序列（ xi ,yi）。 如果數(shù)據(jù)序列（ xi ,yi） (為一般起見 ), i=1,2, … ,m ,含有不可避免的誤差（或稱 “ 噪聲 ” ，如圖 51所示），或者無法同時滿足某特定的函數(shù) （ 如圖 52所示 ） ,那么，只能要求所作逼近函數(shù) ψ （ x）最優(yōu)地靠近樣點(diǎn)，即向量 Q=（ ψ (x1), ψ (x2), … , ψ (xm)） T與 Y=(y1,y2, …,ym)T的誤差或距離最小。按 Q與 Y之間誤差最小原則作為 “ 最優(yōu) ” 標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的逼近函數(shù)，稱為擬合函數(shù)。 第一節(jié) 問題的提出 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20050100150200Y X 0 2 4 6 8 1005101520Y X 圖 51 含有噪聲的數(shù)據(jù) 圖 52 無法同時滿足某特定函數(shù)的數(shù)據(jù)序列 第一節(jié) 問題的提出 除了物性數(shù)據(jù)及設(shè)備參數(shù)需要利用數(shù)據(jù)擬合外，在化學(xué)化工中，許多模型也要利用數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，求出最佳的模型和模型參數(shù)。如在某一反應(yīng)工程實(shí)驗中，我們測得了如表 51所示的實(shí)驗數(shù)據(jù)。 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 溫度 T 10 20 30 40 50 60 70 80 轉(zhuǎn)化率 y 0 .1 0 .3 0 .7 0 .9 4 0 .9 5 0 .6 8 0 .3 4 0 .1 3 現(xiàn)在要確定在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)化率 y和溫度T的具體關(guān)系，現(xiàn)擬用兩種模型去擬合實(shí)驗數(shù)據(jù)，兩種模型分別是 2111 TcTbay ??? 2222 )45( ??? Tba cy第一節(jié) 問題的提出 如何求取上述模型中的參數(shù)，并判斷兩種模型的優(yōu)劣 ,是化學(xué)化工工作者經(jīng)常要碰到的問題，這個問題的求解將在本章下面的有關(guān)章節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)的講解。 2111 TcTbay ??? 2222)45( ??? Tbacy第二節(jié) 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 第二節(jié) 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 前面已經(jīng)提到按 Q與 Y之間誤差最小原則作為 “ 最優(yōu) ” 標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的逼近函數(shù)，稱為 擬合函數(shù) ，而向量 Q與 Y之間的誤差或距離有各種不同的定義方法，一般有以下幾種。 （ 1）用各點(diǎn)誤差絕對值的和表示 （ 2）用各點(diǎn)誤差按絕對值的最大值表示 （ 3）用各點(diǎn)誤差的平方和表示 ?? ?? mi ii yxR 11 )(?iimi yxR ?? ??? )(m ax1 ?22212YQ (x)R ))(( ???? ??或imi iyxRR ? 式中 R稱為均方誤差。由于計算均方誤差的最小值的原則容易實(shí)現(xiàn)而被廣泛采用。 按均方誤差達(dá)到極小構(gòu)造擬合曲線的方法稱為最小二乘法 。同時還有許多種其他的方法構(gòu)造擬合曲線，感興趣的讀者可參閱有關(guān)教材。本章主要講述用最小二乘法構(gòu)造擬合曲線。 第二節(jié) 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 第二節(jié) 擬合的標(biāo)準(zhǔn) __實(shí)例 1 實(shí)驗測得二甲醇（ DME）的飽和蒸氣壓和溫度的關(guān)系，見表 52。 序號 溫度 ℃ 蒸氣壓 MPa 1 2 10 3 0 4 10 5 20 6 30 7 40 表 52 DME飽和蒸氣壓和溫度的關(guān)系 3 0 2 0 1 0 0 10 20 30 40 500 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0pt 由表 52的數(shù)據(jù)觀測可得， DME的飽和蒸氣壓和溫度有正相關(guān)關(guān)系，如果以函數(shù) p=a+bt來擬合 ,則擬合函數(shù)是一條直線。通過計算均方誤差 Q ( a , b ) 最小值而確定直線方程。 （見圖 53 ） 圖 53 DME飽和蒸汽壓和溫度之間的線性擬合 第二節(jié) 擬合的標(biāo)準(zhǔn) __實(shí)例 1 2121)())((),( imiiimii pbtaptpbaQ ????? ???? 擬合得到直線方程為： 相關(guān)系數(shù) R為 ，平均絕對偏差 SD為 。 tp 0 . 0 1 2 10 . 3 0 3 2 4 ??擬合的標(biāo)準(zhǔn) —— 實(shí)例 2 如果采用二次擬合，通過計算下述均方誤差 擬合得二次方程為 相關(guān)系數(shù) R為 ，平均絕對偏差 SD為 ,具體擬合曲線見圖 54。 21221012210 )())((),( imiiimiii ptataaptpaaaQ ?????? ????20 0 0 1 500 0 9 5 702 4 8 4 50 ..p ???3 0 2 0 1 0 0 10 20 30 40 500 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0y =0 . 2 4 8 4 5 +0 . 0 0 9 5 7 x +0 . 0 0 0 1 5 x2壓力, P(MPa)溫度 , t( ℃ )圖 54 DME飽和蒸氣壓和溫度之間的 二次擬合 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例 2 比較圖 53和圖 54以及各自的相關(guān)系數(shù)和平均絕對偏差可知： ? 對于 DME飽和蒸汽壓和溫度之間的關(guān)系，在實(shí)驗溫度范圍內(nèi)用二次擬合曲線優(yōu)于線性擬合。 ? 二次擬合曲線具有局限性，由圖 54觀察可知，當(dāng)溫度低于 30℃ 時，飽和壓力有升高的趨勢，但在擬合的溫度范圍內(nèi)，二次擬合的平均絕對偏差又小于一次擬合，故對物性數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時，不僅要看在擬合條件下的擬合效果，還必須根據(jù)物性的具體性質(zhì)，判斷在擬合條件之外的物性變化趨勢，以便使擬合公式在已做實(shí)驗點(diǎn)數(shù)據(jù)之外應(yīng)用。 第三節(jié) 單變量擬合和多變量擬合 給定一組數(shù)據(jù)（ xi,yi） ,i=1, 2 , … , m ， 作擬合直線p (x)=a + bx , 均方誤差為 2121)())((),( imi iimi iybxayxpbaQ ????? ????由數(shù)學(xué)知識可知， Q (a , b)的極小值需滿足： 0)(2),(1?????? ?? imi iybxaa baQ0)(2),(1?????? ??iimii xybxabbaQ整理得到擬合曲線滿足的方程： ???????????? ? ?? ?? ? ?? ?mimimiiiiimimiiiyxbxaxybxma1 1 121 1)()()( 單變量擬合 1. 單變量擬合 —— 線性擬合 —— 線性擬合 該方程可用消元法或克萊姆方法解出方程（如下式所示） ))(()())(/()( 21 121 11211211121121112111? ?? ???????????????? ?? ??????????????????????mimiiimimiimiiiimiimiimiiimiimiimiimiimiimiimiimiiimiimiixxmyxyxmbxxmyxxxyxxxmxyxxya單變量擬合 —— 線性擬合實(shí)例 例： 下表為實(shí)驗測得的某一物性和溫度之間的關(guān)系數(shù)據(jù)，表中 x為 溫度數(shù)據(jù)，y為物性數(shù)據(jù)。請用線性函數(shù)擬合溫度和物性之間的關(guān)系。 解：設(shè)擬合直線 p(x)=a+bx ,并計算得下表 ： x 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29