矩陣的轉置、乘法初等變換、逆(已修改)
2025-08-01 04:53 本頁面
【正文】 矩陣的 轉置、乘法（初等變換）、逆 歐陽順湘 北京師范大學珠海分校 內容提要 ? 矩陣的下列運算的性質與應用 ? 乘法 ? 轉置 ? 初等變換 ? 逆 定義 ? ? ? ? ，那么，設矩陣nsijnmij bBaA ?? ?? 由定義，一個 １ ｓ 行矩陣與一個 ｓ １ 列矩陣的乘積是一個一階方陣，也就是 一個數(shù) ： ? ?Ｃ＝ＡＢ并把此乘積記作），，；，，（＝，其中ｓｋ.212112211njmibabababacc kjiksjisjijiijnmij????????? ????? CnmB 矩陣的乘積是一個矩陣Ａ與矩陣乘法 定義５中矩陣Ｃ (=AB)的元素 cij是矩陣 A 的 第 i 行 元素與矩陣 B的 第 j 列 對應元素乘積之和 . 注意 只有當?shù)谝粋€矩陣 (左 矩陣 )的 列 數(shù)等 于第二個矩陣 (右 矩陣 )的 行 數(shù)時， 兩個矩陣才 能相乘 . ? ?sjisjijisjjjisiibabababbbaaa ?????????????????????22112121,????nkijkjik cba1矩陣的乘法滿足下述運算規(guī)律 結合律)()(. BCACAB1 ?ACABCBA2 ??? )(.).()()(. BABAAB3 ??? ??分配律CABAACB ??? )(矩陣的冪 A 是一個 n 階矩陣 , k 是一個正整數(shù) ,規(guī)定 ????? ??個kk AAAA ?矩陣的冪滿足規(guī)律 ? ? ., lklklklk AAAAA ?? ?其中 k , l 為正整數(shù) . 對于兩個 n 階矩陣 A與 B，一般說 .)( kkk BAAB ????????????????kn21000000????????????????????????knk2k1000000??????????例 8 矩陣的轉置 定義 把矩陣 A的行列 （ 按原順序互換 ） 互換所得到的矩陣稱為原矩陣的轉置矩陣 ， 以 AT表示 。 即 A＝ (aij)m n， AT＝ (aji)n m 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a aAa a a??????????????? ?? ?? ????????11 21 112 22 212mmTn n m na a aa a aAa a a?????????????? ? ? ? ? ? ? ???????110 1 ,23A?????? ??????例 若 ?TA則 矩陣的轉置滿足下述運算規(guī)律 AA1 TT ?)(.TTT BABA2 ??? )(.TT AA3 ?? ?)(..????????? 311201TAB4 )(. TT AB?(ABC)T＝ CTBTAT 對于多個矩陣相乘，有 ? ?1 2 2 1T T T TttA A A A A A?證明：設 ? ? ? ? ,nsijsmij bBaA ?? ??記 ? ? ? ?., mnijTTnmij dDABcCAB ?? ????由矩陣的乘法定義，有 ,1???skkijkji bac而 BT的第 i行為 ? ?,1 sii bb ?AT的第 j列為 ,1??????????jsjaa?因此 ? ?? ???skskkijkjkkiij baabd1 1,所以 ? ? ,2,1。,2,1 mjnicd jiij ?? ???即 D=CT，亦即 BTAT=(AB)T. 方陣的行列式運算滿足下述規(guī)律 : AA1 T ?. AA2 n?? ?.BAAB3 ?.定義 由 n 階矩陣 A 的元素（按原來的位置） .A記作稱為方陣 A 的行列式 , 為數(shù)）階矩陣，是其中 ?nBA ,( 構成的行列式， 方陣的行列式 TT AA ? .A?，設???????????333231232221131211aaaaaaaaaA1 .，???????????332313322212312111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA ?333231232221131211aaaaaaaaaA ?那么 332313322212312111TaaaaaaaaaA ? 于是 3332312322211312113aaaaaaaaa?????????????333231232221131211aaaaaaaaaA??????????333231232221131211aaaaaaaaaA?????????? ?2. 設 A 為 3 階矩陣 , 333231232221131211aaaaaaaaaA?????????? ?.A3??那么 于是 ,為數(shù)?初等矩陣 amp。 初等變換 Recall 練習 ??????行（列）上去．乘某行（列）加到另一以數(shù)乘某行或某列；以數(shù)對調兩行或兩列；kk.3.1三種初等變換 1 設 ????????????????????a,1 1a,1 2a,1 3a,2 1a,2 2a,2 3a,3 1a,3 2a,3 3A= 計算并總結規(guī)律。 (１ ) ??????????????1 0 00 1 00 0 1A (２ ) ??????????????1 0 00 1 00 0 1A A ??????????????1 0 0l 1 00 0 1A ??????????????1 0 00 0 10 1 0A A ??????????????1 0 00 0 10 1 0(3) (5) (4) (6) ??????????????1 0 00 k 00 0 1??????????????1 0 00 1 00 0 1??????????????1 0 0l 1 00
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