總結(jié)求逆矩陣方法(已修改)
2024-11-07 08:16 本頁面
【正文】 1 / 17 逆矩陣的求法 一般矩陣的逆矩陣的求法 用定義去求逆矩陣 定義 設(shè) A 是一個(gè) n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 B ，使 A B =B A =E ，則稱A 為可逆矩陣，并稱 B 是 A 的可逆矩陣。 例 已知 n 階矩陣 A 滿足 0322 ??? EAA 。證明 A +4E 可逆并求出 ? ?14 ?? EA . 證明：把 0322 ??? EAA 變形為 (A +4E )（ EA 2? ） =5E ，可得（ A +4E ）（ EA 5251 ?? ） =E ，所以存在一個(gè)矩陣 B = EA 5251 ?? ， B 使（ A +4E ） B =E 。由定義得 A +4E 可逆，且 B ? ?14 ?? EA =B = EA 5251 ?? . 用伴隨矩陣去求逆矩陣 定理 n 階矩陣 A =（ ija ）為可逆的充要條件是 A 非奇異。且 1?A =A111 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????，其中 ijA 是 A 中元素 ija 的代數(shù)余子式。矩陣11 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????稱為矩陣 A 的伴隨矩陣，記作 *A ，于是有 1?A =A1 *A . 例 判斷矩陣 A =??????????343122321 ， A 是否可逆？若可逆，求 1?A . 解： 因?yàn)?A =2? 0，所以 A 可逆。又 11A =2， 12A =3， 13A =2， 21A =6， 22A =6， 23A =2， 31A =4， 32A =5， 33A =2. 所以 1?A =A1*A =21??????????????222563462 =??????????????111 25323 231 . 用初等變換去求逆矩陣 如果 A 可逆，則 A 可通過初等行變換化為單位矩陣 E ，即存在相應(yīng)的初等矩陣 1E 、 2E … sE 使 sE … 2E 1E A ＝ E （ 1），用 1?A 又乘上式兩端，得 sE … 2E 1E E 2 / 17 ＝ 1?A （ 2），比較（ 1）、（ 2）兩式，可知當(dāng) A 通過行初等變換化為 E 的同時(shí)，對單位矩陣 E 作同樣的初等行變換，就化為 A 的逆矩陣 1?A .同樣，只要用列的初等變換也可以求逆矩陣。 (1)初等行變換 如果 n 階矩陣 A 可逆，作一個(gè) n ?2n 的矩陣（ A ， E ），然后對此矩陣施以初等行變換，使矩陣 A 化為單位矩陣 E ，則同時(shí)即化為 1?A 了。即（ A ， E ） ?（ E ， 1?A ） . 例 用初等行變換求矩陣 A =??????????521310132 的逆矩陣。 解：（ A ,E ） ? ????????????100521010310001132? ????????????001132010310100521? ?? ????????????? 201910010310100521? ?????????????? 211600010310100521? ?? ???????????????? 316161100010310100521? ??????????????????????31616110012321010326565021? ?? ?????????????????????316161100123210103461361001，故 1?A =?????????????????????316161123213461361. (2)初等列變換 如果 n 階矩陣 A 可逆，作一個(gè) 2n ? n 的矩陣 ??????EA，然后對此矩陣施以初等列變換，使矩陣 A 化為單位矩陣 E ，則同時(shí) E 化為 1?A ,即 ??????EA ? ?? ???????1AE. 3 / 17 例 用初等列變換求矩陣 A =??????????101111123 的逆矩陣。 解： ??????EA=??????????????????100100010011111213? ????????????????????000110110001131211? ??????????????????????????302110120201201011? ????????????????????????122110120201001011 ? ????????????????????????????21121102110201001011? ?????????????????????????????2111121121110210001011? ?????????????????????????????2111121021110210001001? ???????????????????????????2111121021110210001001,所以 1?A =?????????????12122012121 . (3)混合采用初等行、列變換 如果 n 階矩陣 A
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