【正文】 0010001=????????????????9231320003202, ∴ 1?A =????????????31000100013411? ????????????????9231320003202=????????????112010235 . 利用 ShermanMorrvson 公式可很快的求出類型，如： A =??????????baaabaaab......... 的矩陣的逆。 1 / 17 逆矩陣的求法 一般矩陣的逆矩陣的求法 用定義去求逆矩陣 定義 設(shè) A 是一個(gè) n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 B ，使 A B =B A =E ，則稱A 為可逆矩陣，并稱 B 是 A 的可逆矩陣。 解： A =?????????????????????11111+????????????????6543265432654326655443322 =?????????????????????11111+??????????????1111111111?????? 54321 11111 = 5 / 17 B +X 2E Y 由公式得： 1?A =191?????????????????????13543261443265153266554416327 特別的，當(dāng) X 是 n ?l,Y 是 1? n ，且 C =（ 1）時(shí)，公式（ 1）就變成了 1?A = 1?B XYB11 1??1?B X 1?B ，此公式為 ShermanMorrvson 公式。 設(shè)元法 對(duì)于給定的可逆陣 A ，可假設(shè) 1?A 的每個(gè)待求元，據(jù) A 1?A ＝ E 及矩陣相等的條件，利用解方程組，逐個(gè)求出個(gè)元素。當(dāng)且僅當(dāng) ? ????10 1ni f ?? 0，且 15 / 17 1?A =?? ?? ?? ?011nfff??? ???????1?? ，設(shè) 1?A = 1?A （ 0b ， 1b ， ...， 1?nb ）， 由 矩陣乘法規(guī)則可得公式： jb =n1 ? ??????101ni ii in f ?? ， j =0， 1， 2， ...， n 1. 在一般情況下，用以上公式時(shí)需要進(jìn)行大量的三角函數(shù)的計(jì)算，然而對(duì)于許多特殊的情 況，只要充分利用 n 次單位根的性質(zhì)，就可以比較容易的求出所需要的逆矩陣。 定理 設(shè) m +1 階方陣 1?mA =（ ija ） = ??????mmmm Aa? ? ，其中 mA 為 m階方陣 , m? 為 10 / 17 1? m ， m? 為 m ?1 矩陣， ma = 11a ，則當(dāng) mA ， 1?mA 皆可逆時(shí)，有 11??mA = ?????? ?10 00mA+mmmm Aa ?? 11 ?? ??????? ? ??? ? 111 11mmmmmmmm AAA A??? ?，其中 11?A = ?????????? 1,11mma. 求方陣的逆矩陣的他法 重要結(jié)論法 利用逆矩陣的性質(zhì)及一些結(jié)論，可迅速地求出一類矩陣的逆陣，這些性質(zhì)和結(jié)論是： (1)初等矩陣的逆陣： E ? ?1, ?ji ＝ E （ i ， j ）， E ? ?? ? 1, ?ki ＝ E （ i ,（ k1 ））， E ??? 1, ?ki ＝ E （ j （ k ）， i ）． (2)? ?1?AB ＝ 1?B 1?A ； (3)? ?1?TA ＝ ? ?TA1? ； (4)正交陣的逆陣： 1?A ＝ TA ； (5)主、次對(duì)角線上的分塊對(duì)角陣的逆陣：設(shè) iA 都是方陣，且 detiA ? 0， i=（ 1，2，… s） 則， 112sAAA?????????=11121sAAA???????????； 112sAAA?????????=11211sAAA???????????. 例 設(shè) A =????????????123123220， B =??????????????????10002200033，求 ? ?1?AB . 解：注意到61 A為正交矩陣，由（ 4）知， 161??????? A= TA?????? 61=61TA ，所以 1?A 11 / 17 =61 TA ；由（ 5）或（ 1）得： 1?B =??????????100020003； 于是 ? ?1?AB =61 1?B TA =61????????????112222330 . 例 設(shè) A =1210 0 00 0 00 0 00 0 0nnaaaa?????????， ?ia 0 (i =1， 2， ...， n )，求 1?A . 解：設(shè) A = ?????? 00 1naA ，其中 1A =diag(1a ， 2a ，…， 1?na )，由于 detA ? 0，據(jù)（ 5） 得 1?A = ????????00111A an，這里 1?A =diag（ 11?a ， 12?a ，…， 11??na ），故 1?A =1110 010 0 010 0 0nnaaa ???????????????. 和化積法 對(duì)于一類給出矩陣之和的有關(guān)等式問題，通過適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，可化為形如A B =E 的形式，從而判斷所求矩陣的可逆性，且可求出其矩陣。對(duì)這三個(gè)矩陣施以變換，當(dāng)對(duì) A 做一次行變換，便對(duì)左邊的矩陣 E 做同樣的行變換；每對(duì) A 做一次列變換，便對(duì)右邊的矩陣 E 作同樣的列變換。且 1?A =A111 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????，其中 ijA 是 A 中元素 ija 的代數(shù)余子式。 引理 任何一個(gè) m +1 階可逆方陣都可以只通過行列互換初等變換化為左上角為 m 階可逆塊的方塊方陣