總結(jié)求逆矩陣方法-文庫吧
2024-10-02 08:16 本頁面
【正文】 可逆，列出三個矩陣如下： E ， A ， E （ E 為單位矩陣）。對這三個矩陣施以變換，當(dāng)對 A 做一次行變換，便對左邊的矩陣 E 做同樣的行變換；每對 A 做一次列變換，便對右邊的矩陣 E 作同樣的列變換。最后可得： P ，E ， Q ,所以 1?A =Q P . 用分塊矩陣去求逆矩陣 設(shè) A 、 B 分別為 p 、 q 階可逆矩陣，則 10??????? BCA ＝ ?????? ????1110 B CBAA， 10 ??????? BDA ＝ ???????????1111 0BDABA， 10 0??????? BA ＝ ????????110 0BA， 100???????B A ＝ ????????0011A B. 4 / 17 例 求矩陣 S ＝??????????????3111522100110012的逆矩陣。 解：令 A ＝ ?????? 11 12， B ＝ ?????? 31 52， D ＝ ?????? ?? 11 21，所以 1?A ＝ ??????? ?21 11 1?B ＝ ??????? ?21 53， 11 ??? DAB ＝ ??????? ?117 3019. 故 1?S ＝ 10 ??????? BDA ＝ ???????????1111 0BDABA＝??????????????????2111753301900210011. 分解矩陣求逆法 分解矩陣求逆法，即將已知矩陣分解成兩個矩陣之和，然后再求其逆。 定理 設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，且 A ＝ B ＋ X C Y ，其中 1?B 已知， C 是 r ? r可逆陣， r ? n ，又設(shè) 1?C ＋ 1?B 可逆，則 1?A ＝ 1?B － 1?B X ? ? 111 ??? ? XYBC Y 1?B . （１） 例 求矩陣 A =????????????????5543264432653326655442321的逆矩陣。 解： A =?????????????????????11111+????????????????6543265432654326655443322 =?????????????????????11111+??????????????1111111111?????? 54321 11111 = 5 / 17 B +X 2E Y 由公式得： 1?A =191?????????????????????13543261443265153266554416327 特別的，當(dāng) X 是 n ?l,Y 是 1? n ，且 C =（ 1）時，公式（ 1）就變成了 1?A = 1?B XYB11 1??1?B X 1?B ，此公式為 ShermanMorrvson 公式。 例 A =????????????512010211 ，求1?A . 解：設(shè) B ＝??????????300010001 ， X ＝??????????101 ， Y ＝ ? ?212? ，則 A ＝ B ＋ B Y ， 1?B ＝????????????3100010001， Y 1?B X ＝ ? ?212?????????????3100010001??????????101 ＝34? 1?B X Y 1?B =????????????3100010001??????????101 ? ?212?????????????3100010001=????????????????9231320003202, ∴ 1?A =????????????31000100013411? ????????????????9231320003202=????????????112010235 . 利用 ShermanMorrvson 公式可很快的求出類型，如： A =??????????baaabaaab......... 的矩陣的逆。 例 當(dāng) b ? a 時，且 b ? (1n )a 時，求證： 1?A = ?????? ???? Eanb aEab )1(1. 6 / 17 證明：∵ A =bababa?????????+????????????aaaaaaaaa..................... =（ ba） E+??????????aaa ? ?1...111 . 于是由 ShermanMorrvson 公式定理可求得 A 的逆為： 1?A = ?????? ???? Eanb aEab )1(1，其中 E =????????????1...11............1...111...11. 由該例題若求形如矩陣 A 的逆，只要將 a 、 b 的值代入上述公式，即可求得。這比用初等變換、分塊矩陣和伴隨矩陣法要簡單得多。 特征多項式法 定理 設(shè) A 是 n ? n 矩陣，則 A 可逆 ? 存在常數(shù)項不為 0 的多項式 g （ x），使 g (A )=0. 證：必要性，設(shè) A 的特征多項式為： f (λ )= 0111 aaa nnn ??????? ?? ??? 其中， 0a =? ?n1? A ? 0，而 f (A)=0，故 f (x)是適合條件的 g （ x） . 充分性，設(shè) g （λ） = 01 bbb mm ?????? ?? ，
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