[理學(xué)]數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科逆矩陣畢業(yè)論文文檔-文庫吧
2025-01-01 07:04 本頁面
【正文】 B可逆，其逆陣為BA，當(dāng)然這一性質(zhì)可以推廣到多個矩陣相乘的逆. 若A可逆，則也可逆，且=A； 若A可逆，數(shù)，則可逆，且； 若A可逆，則也可逆，且. . 矩陣的逆是唯一的，證明：運(yùn)用反證法，如果A 是可逆矩陣，假設(shè)B,C都是A的逆，則有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（與BC矛盾），所以是唯一的. 四：矩陣可逆的判定方法 矩陣可逆有如下若干充要條件：（A為n階方陣） 存在B為n階方陣，使得AB=I； 對于PAQ=，其中r（A）=n；3； A的行向量組線性無關(guān)； A的列向量組線性無關(guān)； A可表示成一系列初等矩陣的乘積； A可經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣I； A可經(jīng)過一系列初等列變換化成單位矩陣I； 對于齊次線性方程組 AX=0只有零解； 是非奇異矩陣.五：矩陣的逆的求法（一）.定義法定義 設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB=E,那么A稱為可逆j矩陣，B稱為A的逆矩陣，記為.例1. 求矩陣的逆矩陣.解 ： 因為≠0,由定義知A=E, 所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得。.故 （二）.伴隨矩陣法定理 n階矩陣A = ，其中Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有A1 = A*.注釋 ①對于階數(shù)較低（一般不超過3階）* = （Aji）n，其伴隨矩陣,即伴隨矩陣具有“主對角元素互換，次對角元素變號”的規(guī)律. ②對于分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣.例2：已知，求A1.解: ∵ = 2 ≠ 0 ∴A1 = A* = （三）.行(列)初等變化法 設(shè)n階矩陣A，作n2n矩陣，然后對此矩陣施以行初等變換，若把子塊A變?yōu)?，則子塊將變?yōu)椋闯醯刃凶儞Q [E,A1 ].注 ①對于階數(shù)較高（n≥3）的矩陣，只允許施行初等行變換. ②也可以利用求得A的逆矩陣. ③當(dāng)矩陣A可逆時，可利用，即求出了A1B或CA1.例3：:用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解： （四）. 用分塊矩陣求逆矩陣設(shè)A、B分別為P、Q階可逆矩陣，則：例4：已知，求A1.解： 將A分塊如下：其中 可求得 （五）.解方程組求逆矩陣根據(jù)可逆的上(下)三角矩陣的逆仍是上(下)三角矩陣,且上(下)三角矩陣逆矩陣主對角元分別為上(下)三角矩陣對應(yīng)的主對角元的倒數(shù),可設(shè)出逆矩陣的待求元素。又由A1A = E 兩端對應(yīng)元素相等,依次可得只含有一個待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣.例5： 求的逆矩陣.解： 設(shè),先求A1 中主對角線下的次對角線上的元素,再求，, 比較的兩端對應(yīng)元素,得到元素,再求，, 比較的兩端對應(yīng)元素,得到于是,所求的逆矩陣為: （六）. 用克萊姆法則求解若線性方程組的系數(shù)行列式，.例6：求可逆矩陣的逆矩陣.解： 矩陣A的行向量為，由標(biāo)準(zhǔn)基表示為： 解以為未知量的方程組得：（七）.恒等變形法求逆矩陣：有些計算命題表面上與求逆矩陣無關(guān),但實質(zhì)上只有求出矩陣的逆矩陣才能算出來,而求逆矩陣須對所給的矩陣等式恒等變形,且常變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式. 例7：已知，試求并證明,其中.解: 由 得到故,而A又為正交矩陣, 從而（八）. 用HamiltonCaley定理求逆矩陣 HamiltonCaley定理:設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣 為A的特征多項式，則： 于是 因此例8：已知，求A1.解： A的特征
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