總結(jié)求逆矩陣方法(完整版)
【正文】 7 逆矩陣的求法 一般矩陣的逆矩陣的求法 用定義去求逆矩陣 定義 設(shè) A 是一個(gè) n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 B ，使 A B =B A =E ，則稱(chēng)A 為可逆矩陣，并稱(chēng) B 是 A 的可逆矩陣。即（ A ， E ） ?（ E ， 1?A ） . 例 用初等行變換求矩陣 A =??????????521310132 的逆矩陣。 例 A =????????????512010211 ，求1?A . 解：設(shè) B ＝??????????300010001 ， X ＝??????????101 ， Y ＝ ? ?212? ，則 A ＝ B ＋ B Y ， 1?B ＝????????????3100010001， Y 1?B X ＝ ? ?212?????????????3100010001??????????101 ＝34? 1?B X Y 1?B =????????????3100010001??????????101 ? ?212?????????????3100010001=????????????????9231320003202, ∴ 1?A =????????????31000100013411? ????????????????9231320003202=????????????112010235 . 利用 ShermanMorrvson 公式可很快的求出類(lèi)型，如： A =??????????baaabaaab......... 的矩陣的逆。 8 / 17 定理 1?mA ， mA ， m? ， m? ， ma ， mc 如引理及推論所述，又令 m? = 1?mA m? ， m? = m? 1?mA ，則 11??mA = ?????? ? 00 01mA +mc1 ?????? 1mmmm? ??? = ?????? ? 00 01mA +mc1 ??????1m? ? ?1m? ， 其中， 1?mA = ??????111a . 證明：顯然 1?mA = ??????111a ，設(shè) 1?mA 的逆矩陣 11??mA = ??????mmmm bB? ? ，其中 mB 為 m 階方陣 m?為 m 1階矩陣 , m? 為 1 m 矩陣， mb = 11 ??mmb ，根據(jù) 1?mA 11??mA = ??????mmmm aA? ? ??????mmmm bB? ? = ?????? 10 0mE ，其中 mE 是 m 階單位矩陣，再 由分塊矩陣乘法和矩陣相等得到矩陣方程組 ? ?? ?? ?? ????????????????4,13,02,01,mmmmmmmmmmmmmmmmmbaaBbAEBA???????? 根據(jù) mA 可逆，由（ 3）式得 m? =mb 1?mA m? ， （ 6） 將（ 6）式代入（ 5）式得 mb =mmmm Aa ?? 11 ?? =mc1 ， （ 7） 將（ 7）式代入（ 6）式得mmm cA ?? 1??? =mc1 m? ， （ 8） 又由（ 2）式得 mB = 1?mA 1?mA m? m? ， （ 9） 將（ 9）式代入（ 4）式得 m? =mmmmm Aa A ??? 11???? =mc1 m? ， （ 10） 將（ 10）式代入（ 9）式得 mB = 1?mA +mc1 （ 1?mA m? ） m? = 1?mA +mc1 m? m? ， （ 11） 綜合（ 7）（ 8）（ 10）（ 11）即可得到 11??mA = ?????? ? 00 01mA +mc1 ?????? 1mmmm? ??? = ?????? ? 00 01mA +mc1 ??????1m? ? ?1m? .定理證畢。 例 已知： A ＝ ??????4321 AA AA ，其中 1A 、 4A 分別為 r 、 s 階可逆方陣，求 1?A . 解：設(shè) 1?A ＝ ?????? 42 21 ZZZZ ，其中 iZ 與 iA （ i ＝１，２，３，４）為同形陣。 歐幾里得算法 令 g (x)= nx 1則 g (? )=0，即 g (x)是 ? 的最小零化多項(xiàng)式， ? 同前， R 為全體實(shí)數(shù)集，設(shè) R [x ]是 R 上的一元多項(xiàng)式環(huán)， B 為 R 上全體循環(huán)矩陣構(gòu)成的集合，則 B 關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成交換環(huán)，定義 ? ： R [x ]→ B ， f (x )→ f (? )，f (x )? R [x ]，易證 ? 是 R [x ]到 B 的滿(mǎn)環(huán)同態(tài)，由同態(tài)基本定理可得 ? ? BxR ??ker ，即 ? ?? ? Bx xRn ??1. 定理 循環(huán)矩陣 A =A（ 0a ， 1a ， 2a ， ...， 1?na ）可逆，當(dāng)且僅當(dāng)（ f (x )，nx 1） =1， 即存在 u (x )， v (x )? R [x ]使得 f (x )u (x )+v (x )（ nx 1） =1，其中 14 / 17 f(x)= 0a +1a x+ 2a 2x +....+ 1?na 1?nx =1. 利用定理可構(gòu)造如下求逆的方法：求出 f (x )與 nx 1 的最大公因式 d (x )及 u(x )、 v (x )? R [x ],使得： f (x )+v (x )（ nx 1） =d(x ) （ 1） . 若 d (x )不是非零常數(shù)，則 A （ 0a ， 1a ， 2a ， ....， 1?na ）不可逆； d (x )若是非零常數(shù) p ，則 A （ 0a ， 1a ， 2a ， ....， 1?na ）可逆此時(shí)將 ? 代入（ 1）式得 f (? )u (? )=p ，從而 1?A =p1 u (? ). 例 判斷下列矩陣 A =????????????????2444442444442444442444442是否可逆？若可逆，求其逆。 用三角算法（此算法可得循環(huán)矩陣求逆矩陣的公式） 由 循 環(huán) 矩 陣 性 質(zhì) （ 6 ） 我 們 得 知 存 在 ? ，使得 1?? A ? =? ?? ?? ?011nfff??? ???????.因?yàn)?det? 為─ Vandermonde 行列式，當(dāng) k ? 1 時(shí)有 k? ? 1? ，故
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