【正文】 題型突破 (六 ) 幾何圖形中的動態(tài)、 圖形變換問題 TYPE 6 題型解讀 包頭中考題第 25題為固定考查不幾何相關(guān)的動態(tài)圖形變換類試題 ,難度大 ,分值為12分 ,該題主要以特殊的圖形 (等腰三角形、正方形、矩形、菱形等 )為載體 ,涉及點動、線動和面動等動態(tài)問題 .動態(tài)問題的解決往往會不相似、方程、函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合 ,解決該題經(jīng)常要用到“特殊 —— 一般”的探究方法 ,將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 cm / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 . (1 ) t 為何值時 , PQ ∥ BC ? (2 ) t 為何值時 , △ APQ 是直角三角形 ? (3 ) t 為何值時 , △ APQ 是等腰三角形 ? (4 ) 設△ AQP 的面積為 y (cm2), 求 y 不 t 的函數(shù)關(guān)系式 . 圖 Z6 1 ① 圖 Z6 1 ② 圖 Z6 1 ③ 圖 Z6 1 ④ 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 (5 ) 是否存在某一時刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的周長平分 ? 若存在 , 求出 t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . (6 ) 是否存在某一時刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的面積平分 ? 若存在 , 求出 t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . (7 ) 是否存在某一時刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的周長和面積同時平分 ? 若存在 , 求出 t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . (8 ) 如圖 Z6 1 ⑧ , 把△ APQ 沿 AP 翻折 , 得到四邊形 AQPQ39。 , 那么是否存在某一時刻 t , 使四邊形 AQPQ39。 是菱形 ?若存在 , 求此時菱形的面積 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 1 ⑤ 圖 Z6 1 ⑥ 圖 Z6 1 ⑦ 圖 Z6 1 ⑧ 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 cm / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 . (1 ) t 為何值時 , PQ ∥ BC ? 圖 Z6 1 ① 解 : ( 1 ) 若 PQ ∥ BC , 則△ APQ ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 由題易知 : AB= 5, A C = 4, AP= 5 t , AQ= 2 t , ∴5 ??5=2 ??4, ∴ t=107. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 cm / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 . (2 ) t 為何值時 , △ APQ 是直角三角形 ? 圖 Z6 1 ② (2 ) 若△ APQ 為直角三角形 , 則需分情況討論 . ① 若∠ AQP= 9 0 176。 , 由 ( 1 ) 知 t=107. ② 若∠ APQ= 9 0 176。 , 則△ APQ ∽△ A CB , ∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴5 ??4=2 ??5,∴ t=2513. 綜上 , 當 t=107或2513時 , △ A P Q 是直角三角形 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 cm / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 . (3 ) t 為何值時 , △ APQ 是等腰三角形 ? 圖 Z6 1 ③ 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 (3 ) ① 當 A Q =A P 時 ,5 t= 2 t , t=53. ② 當 A Q =P Q 時 , 如圖 ① , 過點 Q 作 QR ⊥ AB 于點 R , ∴ AR=12AP=5 ??2, △ AQR ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??24=2 ??5, 解得t=2521. ③ 當 A P =P Q 時 , 如圖 ② , 過點 P 作 PR ⊥ AC 于點 R. 則△ APR ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=??4, 解得 t=209. ∵209 2, ∴ t=209丌合題意 , 舍去 , 綜上 , 當 t=53或2521時 , △ A P Q 是等腰三角形 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 cm / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 . (4 ) 設△ AQP 的面積為 y (cm2), 求 y 不 t 的函數(shù)關(guān)系式 . 圖 Z6 1 ④ ( 4) 如圖 ③ 所示 , 過點 P 作 PR ⊥ AC 于點 R , 則△ A P R ∽△ ABC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=?? ??3,∴ P R =3 ( 5 ?? )5. ∴ y=12AQ PR=12 2 t 3 ( 5 ?? )5=15 3 ??5 t= 35t2+ 3 t (0 t ≤ 2) . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , A C = 4 c m , B C = 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 c m / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 c m / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ) ,且 0 ≤ t ≤ 2 . ( 5) 是否存在某一時刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的周長平分 ? 若存在 , 求出 t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 1 ⑤ ( 5) 存在 . 如圖 ④ 所示 , 若 PQ 把△ ABC 的周長平分 , 則 A P + A Q =12( A B + A C + B C ), ∴ 5 t+ 2 t= 6, ∴ t= 1 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , A C = 4 c m , B C = 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 c m / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 c m / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ) ,且 0 ≤ t ≤ 2 . ( 6) 是否存在某一時刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的面積平分 ? 若存在 , 求出 t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 1 ⑥ ( 6) 存在 . 由 ( 4) 知 : S △ APQ =y =12S △ ABC , ∴ 35t2+ 3 t=1212 3 4, 35t2+ 3 t= 3, t2 5 t+ 5 = 0, t=5 177。 52, t 1 =5 + 52( 舍 ), t 2 =5 52. ∴ 當 t=5 52時 , S △ APQ =12S △ ABC . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , A C = 4 c m , B C = 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 c m / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 c m / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ) ,且 0 ≤ t ≤ 2 . ( 7) 是否存在某一時刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的周長和面積同時平分 ? 若存在 , 求出 t 的 值 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 1 ⑦ ( 7 ) 由 ( 5 ) ( 6 ) 知 , 丌存在 t 值同時把△ ABC 的周長和面積平分 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , A C = 4 c m , B C = 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 c m / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 c m / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ) ,且 0 ≤ t ≤ 2 . ( 8) 如圖 Z6 1 ⑧ , 把△ A P Q 沿 AP 翻折 , 得到四邊形 A Q P Q 39。 , 那么是否存在某一時刻 t , 使四邊形 A Q P Q 39。 是菱形 ? 若存在 , 求此時菱形的面積 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 1 ⑧ ( 8) 存在 . 如圖 ⑤ , 連接 39。 交 AP 于點 O. 由翻折知 39。 ⊥ AP , O Q =O Q 39。 , ∴ 若四邊形 A Q P Q 39。為菱形 , 則需 O P =O A . ∴ O A =O P =5 ??2, 易知△ A O Q ∽△ A C B , ∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴5 ??24=2 ??5,∴ t=2521.∴ A P = 5 2521=8021.∴ A O =4021. 又 A Q = 2 t=5021,∴ 在 Rt △A Q O 中 , 由勾股定理得 OQ=3021.∴ Q Q 39。=6021,∴ S 菱形 AQPQ39。 =1260218021=2400441( c m2) . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , AB= 5 cm , A C= 4 cm , 點 P 由點 B 出發(fā)沿 BA 向點 A 勻速運動 , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 向點 C 勻速運動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 PQ. 設運動時間為 t ( 單位 : s )(0 ≤ t ≤ 4) . 圖 Z6 2 (1 ) 用含 t 的代數(shù)式表示下列線段的長 : AQ= , BP= , AP= , Q C= . (2 ) 當 t= 2 時