【正文】 OD ,∴ △ A CB ∽△ ODB ,∴?? ???? ??=?? ???? ??=?? ???? ??,∴??6=10 ??10, 解得 x=154.∴ OD=154, BE= 10 2 x= 10 152=52. ∵?? ???? ??=?? ???? ??, 即1546=?? ??8,∴ BD= 5 . 過點(diǎn) E 作 EH ⊥ BD , 垂足為 H , ∵ EH ∥ OD ,∴ △ BEH ∽△ BOD ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ EH=32.∴ S △ BDE =12BD EH=154. 類型 2 圓與相似的綜合 例 2 [2 0 1 8 衢州 ] 如圖 Z5 5, 已知 AB 為☉ O 的直徑 , AC 是☉ O 的切線 , 連接 BC 交☉ O 于點(diǎn) F , 取 ?? ?? 的中點(diǎn)D , 連接 AD 交 BC 于點(diǎn) E , 過點(diǎn) E 作 EH ⊥ AB 于點(diǎn) H. (1 ) 求證 : △ HBE ∽△ ABC 。 (2 ) 若 CF = 4, BF= 5, 求 AC 和 EH 的長 . 圖 Z5 5 類型 2 圓與相似的綜合 解 :(1)證明 :∵ AC是☉ O的切線 ,AB為☉ O的直徑 , ∴ AC⊥ AB. 又 ∵ EH⊥ AB,∴ ∠ CAB=∠ EHB=90176。. 又 ∵ ∠ HBE=∠ ABC,∴ △HBE∽ △ABC. 類型 2 圓與相似的綜合 例 2 [2 0 1 8 衢州 ] 如圖 Z5 5, 已知 AB 為☉ O 的直徑 , AC 是☉ O 的切線 , 連接 BC 交☉ O 于點(diǎn) F , 取 ?? ?? 的中點(diǎn)D , 連接 AD 交 BC 于點(diǎn) E , 過點(diǎn) E 作 EH ⊥ AB 于點(diǎn) H. (2 ) 若 CF = 4, BF= 5, 求 AC 和 EH 的長 . 圖 Z5 5 (2 ) 連接 AF ,∵ AB 是直徑 ,∴ ∠ AFB= 9 0 176。 ,∴ ∠ CF A = ∠ CA B = 90176。 . 又 ∵ ∠ C= ∠ C ,∴ △ CA F ∽△ CB A ,∴?? ???? ??=?? ???? ??.∵ CF = 4, B C=CF +B F = 4 + 5 = 9, ∴?? ??9=4?? ??,∴ A C= 6 . ∵ D 為 ?? ?? 的中點(diǎn) ,∴ ∠ F A D = ∠ BAD. 又 ∵ EH ⊥ AB , EF ⊥ AF ,∴ E F =E H . 設(shè) E H =x , 則 E F =x , BE= 5 x. ∵ △ HBE ∽△ ABC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴??6=5 ??9,∴ x= 2, 即 EH= 2 . 類型 2 圓與相似的綜合 針 對 訓(xùn) 練 1 . [2 0 1 8 鹽城 ] 如圖 Z5 6, 在以線段 AB 為直徑的☉ O 上取一點(diǎn) C , 連接 AC , BC , 將△ ABC 沿 AB 翻折得到△ ABD. (1 ) 試說明點(diǎn) D 在☉ O 上 。 (2 ) 在線段 AD 的延長線上取一點(diǎn) E , 使 AB2=A C AE , 求證 : BE 為☉ O 的切線 。 (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 分別延長線段 AE , CB 相交于點(diǎn) F , 若 B C= 2, A C= 4, 求線段 EF 的長 . 圖 Z5 6 類型 2 圓與相似的綜合 解 :(1)∵ AB為直徑 ,C是☉ O上一點(diǎn) , ∴ ∠ ACB=90176。. ∵ 將△ ABC沿 AB翻折得到△ ABD, ∴ ∠ ADB=90176。,∴ 點(diǎn) D在☉ O上 . 類型 2 圓與相似的綜合 針 對 訓(xùn) 練 1 . [2 0 1 8 鹽城 ] 如圖 Z5 6, 在以線段 AB 為直徑的☉ O 上取一點(diǎn) C , 連接 AC , BC , 將△ ABC 沿 AB 翻折得到△ ABD. (2 ) 在線段 AD 的延長線上取一點(diǎn) E , 使 AB2=A C AE , 求證 : BE 為☉ O 的切線 。 圖 Z5 6 (2 ) 證明 :∵ AB2=A C AE , A C=A D , ∴?? ???? ??=?? ???? ??. 又 ∵ ∠ DAB= ∠ BAE , ∴ △ DAB ∽△ BAE , ∴ ∠ ABE= ∠ ADB= 9 0 176。 , ∴ BE 為☉ O 的切線 . 類型 2 圓與相似的綜合 針 對 訓(xùn) 練 1 . [2 0 1 8 鹽城 ] 如圖 Z5 6, 在以線段 AB 為直徑的☉ O 上取一點(diǎn) C , 連接 AC , BC , 將△ ABC 沿 AB 翻折得到△ ABD. (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 分別延長線段 AE , CB 相交于點(diǎn) F , 若 B C= 2, A C= 4, 求線段 EF 的長 . 圖 Z5 6 (3 ) ∵ B C= 2, A C= 4, ∴ BD= 2, AD= 4, AB= 2 5 . ∵ AB2=A C AE ,∴ A E = 5, DE= 1 . 在 Rt △ BDF 中 ,∵ BD= 2, DE= 1, ∴ BF= 2 2 + ( 1 + ?? ?? )2. ∵ ∠ C= ∠ FDB= 9 0 176。 , ∠ F= ∠ F ,∴ △ F CA ∽△ F D B ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即1 + ?? ?? 2 2 + ( 1 + ?? ?? )2+ 2=24, 整理 , 得 3 EF2 2 EF 5 = 0 .∴ EF=53( 負(fù)值已舍去 ) . 故線段 EF 的長為53. 類型 2 圓與相似的綜合 2 . 如圖 Z5 7, △ ABC 中 , AD 平分∠ BAC 交△ ABC 的外接圓☉ O 于點(diǎn) H , 過點(diǎn) H 作 EF ∥ BC , 不 AC 的延長線 , AB 的延長線分別交于點(diǎn) E , F. (1 ) 求證 : EF 是☉ O 的切線 。 (2 ) 若 AH= 8, DH= 2, 求 CH 的長 。 (3 ) 若∠ CA B = 6 0 176。 , 在 ( 2 ) 的條件下 , 求 ?? ?? ?? 的長 . 圖 Z5 7 類型 2 圓與相似的綜合 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OH , ∵ AD 平分∠ BAC , ∴ ∠ EAH= ∠ FAH ,∴ ?? ?? = ?? ?? . 又 ∵ OH 是☉ O 的半徑 ,∴ OH ⊥ B C. 又 ∵ EF ∥ BC ,∴ EF ⊥ OH , ∴ EF 是☉ O 的切線 . 類型 2 圓與相似的綜合 2 . 如圖 Z5 7, △ ABC 中 , AD 平分∠ BAC 交△ ABC 的外接圓☉ O 于點(diǎn) H , 過點(diǎn) H 作 EF ∥ BC , 不 AC 的延長線 , AB 的延長線分別交于點(diǎn) E , F. (2 ) 若 AH= 8, DH= 2, 求 CH 的長 。 圖 Z5 7 (2 ) ∵ ∠ H CB = ∠ HAB , ∠ HAB= ∠ HAC ,∴ ∠ H CB = ∠ H A C. 又 ∵ ∠ CH A = ∠ DHC ,∴ △ CH D ∽△ AHC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ CH2= 8 2 = 16, ∴ CH = 4 . 類型 2 圓與相似的綜合 2 . 如圖 Z5 7, △ ABC 中 , AD 平分∠ BAC 交△ ABC 的外接圓☉ O 于點(diǎn) H , 過點(diǎn) H 作 EF ∥ BC , 不 AC 的延長線 , AB 的延長線分別交于點(diǎn) E , F. (3 ) 若∠ CA B = 6 0 176。 , 在 ( 2 ) 的條件下 , 求 ?? ?? ?? 的長 . 圖 Z5 7 (3 ) 連接 OC , OB , ∵ ∠ CA B = 6 0 176。 ,∴ ∠ C O B = 1 2 0 176。 . 又 ∵ ?? ?? = ?? ?? ,∴ ∠ CO H =12∠ CO B = 6 0 176。 . 又 ∵ CO =H O ,∴ △ CO H 是等邊三角形 , ∴ CO =CH = 4, ∴ ?? ?? ?? 的長 =120 4 π180=83π . 類型 2 圓與相似的綜合 3 . [2 0 1 8 青山區(qū)二模 ] 如圖 Z5 8, ☉ O 是△ ABC 的外接圓 , FH 是☉ O 的切線 , 切點(diǎn)為 F , FH ∥ BC , 連接 AF 交 BC于點(diǎn) E , ∠ ABC 的平分線 BD 交 AF 于點(diǎn) D , 連接 BF. (1 ) 求證 : AF 平分∠ B A C 。 (2 ) 求證 : B F =F D 。 (3 ) 若 EF= 4, DE= 3, 求 AD 的長 . 圖 Z5 8 類型 2 圓與相似的綜合 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OF ,∵ FH 是☉ O 的切線 , ∴ OF ⊥ FH. ∵ FH ∥ BC ,∴ OF 垂直平分 BC , ∴ ?? ?? = ?? ?? ,∴ ∠ 1 = ∠ 2, ∴ AF 平分∠ B A C. 類型 2 圓與相似的綜合 3 . [2 0 1 8 青山區(qū)二模 ] 如圖 Z5 8, ☉ O 是△ ABC 的外接圓 , FH 是☉ O 的切線 , 切點(diǎn)為 F , FH ∥ BC , 連接 AF 交 BC于點(diǎn) E , ∠ ABC 的平分線 BD 交 AF 于點(diǎn) D , 連接 BF. (2 ) 求證 : B F =F D 。 圖 Z5 8 (2 ) 證明 :∵ BD 平分∠ ABC ,∴ ∠ 4 = ∠ 3 . ∵ ∠ 5 = ∠ 2, 且由 (1 ) 可知∠ 1 = ∠ 2, ∴ ∠ 1 + ∠ 4 = ∠ 5 + ∠ 3 . ∵ ∠ 1 + ∠ 4 = ∠ BDF , ∠ 5 + ∠ 3 = ∠ FBD , ∴ ∠ BDF= ∠ FBD ,∴ B F =F D . 類型 2 圓與相似的綜合 3 . [2 0 1 8 青山區(qū)二模 ] 如圖 Z5 8, ☉ O 是△ ABC 的外接圓 , FH 是☉ O 的切線 , 切點(diǎn)為 F , FH ∥ BC , 連接 AF 交 BC于點(diǎn) E , ∠ ABC 的平分線 BD 交 AF 于點(diǎn) D , 連接 BF. (3 ) 若 EF= 4, DE= 3, 求 AD 的長 . 圖 Z5 8 ( 3) 在△ BFE 和△ AFB 中 , ∵ ∠ 5 = ∠ 2 = ∠ 1, ∠ EFB= ∠ BFA , ∴ △ BFE ∽△ AFB ,∴?? ???? ??=?? ???