【正文】 , 求△ APQ 的面積 . (3 ) 當(dāng) t 為何值時(shí) , PQ ∥ BC ? (4 ) 當(dāng) A P =A Q 時(shí) , 求 t 的值 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 ( 5) 當(dāng)△ A P Q 是等腰三角形時(shí) , 求 t 的值 . ( 6) 若△ A P Q 不△ ABC 相似 , 求 t 的值 . ( 7) 若△ A P Q 是直角三角形 , 求 t 的值 . ( 8) 設(shè)△ A Q P 的面積為 S ( 單位 : c m2), 當(dāng) t 為何值時(shí) , S 取最大值 ? 并求出最大值 . ( 9) 是否存在某個(gè)時(shí)刻 t , 使線段 PQ 將△ ABC 的面積平分 ? 若存在 , 求出此時(shí) t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . ( 10 ) 當(dāng) t 為何值時(shí) , 四邊形 Q C B P 的面積最小 ? 并求出最小值 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . 圖 Z6 2 ( 1) 用含 t 的代數(shù)式表示下列線段的長 : A Q = , B P = , A P = , Q C = . 解 : ( 1 ) A Q =t c m , B P =t c m , A P = (5 t ) c m , Q C = (4 t ) c m . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 2) 當(dāng) t= 2 時(shí) , 求△ APQ 的面積 . 圖 Z6 2 ( 2) 當(dāng) t= 2 時(shí) , 如圖 ① , 過點(diǎn) P 作 PR ⊥ AC 于點(diǎn) R , 則△ A P R ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=?? ??3, ∴5 25=?? ??3, ∴ P R =95, ∴ S △ APQ =12AQ P R =12 2 95=95( c m2) . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , AB= 5 cm , A C= 4 cm , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 PQ. 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s )(0 ≤ t ≤ 4) . (3 ) 當(dāng) t 為何值時(shí) , PQ ∥ BC ? 圖 Z6 2 (3 ) 當(dāng) PQ ∥ BC 時(shí) , △ APQ ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=??4, ∴ t=209. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 4) 當(dāng) A P =AQ 時(shí) , 求 t 的值 . 圖 Z6 2 ( 4 ) 當(dāng) A P =A Q 時(shí) ,5 t =t ,∴ t= 52 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 5) 當(dāng)△ A P Q 是等腰三角形時(shí) , 求 t 的值 . 圖 Z6 2 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 ( 5) 分情況討論 . ① 當(dāng) A P =AQ 時(shí) ,5 t =t , ∴ t=52. ② 當(dāng) A Q =PQ 時(shí) , 如圖 ② , 過點(diǎn) Q 作 QR ⊥ AB 于點(diǎn) R , 則 AR=12A P =5 ??2, △ ARQ ∽△ A C B , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即??5=5 ??2 4, ∴ t=2513. ③ 當(dāng) A P = P Q 時(shí) , 如圖 ③ , 過點(diǎn) P 作 PR ⊥ AC 于點(diǎn) R , 則 AR=12A Q =??2. △ A P R ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即??24=5 ??5, ∴ t=4013. 綜上 , 當(dāng) t=52或2513或4013時(shí) , △ A P Q 是等腰三角形 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 6) 若△ A P Q 不△ ABC 相似 , 求 t 的值 . 圖 Z6 2 ( 6) ① 若△ A P Q ∽△ ABC , 則 ?? ???? ??= ?? ???? ??,∴ 5 ??5= ??4, t= 209. ② 若△ A P Q ∽△ A C B , 則 ?? ???? ??= ?? ???? ??,∴ 5 ??4= ??5, t= 259. 綜上 , 當(dāng) t= 209 或 259時(shí) , △ A P Q 不△ ABC 相似 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 7) 若△ A P Q 是直角三角形 , 求 t 的值 . 圖 Z6 2 ( 7) 當(dāng)∠ A P Q = 90 176。 時(shí) , 同 ( 6) ② , 當(dāng)∠ A Q P = 90 176。 時(shí) , 同 ( 6) ① , ∴ t 的值為 209或 259. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 8) 設(shè)△ A Q P 的面積為 S ( 單位 : c m2), 當(dāng) t 為何值時(shí) , S 取最大值 ? 并求出最大值 . 圖 Z6 2 ( 8) 過點(diǎn) P 作 PR ⊥ AC 于點(diǎn) R , 則△ A P R ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=?? ??3, ∴ P R =3 ( 5 ?? )5, ∴ S=12 AQ P R =12 t 3 ( 5 ?? )5= 310t2+32t= 310( t2 5 t ) = 310[( t2 5 t+254) 254] = 310( t 52)2+158, ∴ 當(dāng) t=52時(shí) , S 有最大值 , S 的最大值 =158. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 9) 是否存在某個(gè)時(shí)刻 t , 使線段 PQ 將△ ABC 的面積平分 ? 若存在 , 求出此時(shí) t 的值 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 2 ( 9) 丌存在 . 理由 : 由 ( 8) 知 S △ APQ = 310t2+32t , ∵ S △ APQ =12S △ ABC , ∴ 310t2+32t= 3, t2 5 t+ 10 = 0, Δ = ( 5)2 40 0, ∴ 丌存在 t. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動 , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 10) 當(dāng) t 為何值時(shí) , 四邊形 Q C B P 的面積最小 ? 并求出最小值 . 圖 Z6 2 ( 10 ) 要使四邊形 Q C B P 的面積最小 , 則△ A P Q 的面積應(yīng)最大 , 由 ( 8) 知當(dāng) t=52時(shí) , S △ AQP 最大 , 且最大值為158. ∴ 四邊形 Q C B P 面積的最小值為 6 158=338( c m 2 ) . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 針 對 訓(xùn) 練 1 . [ 2022 包頭模擬 ] 如圖 Z6 3, 在 Rt △ ABC 中 , 斜邊 AB= 5 c m , B C =a c m , A C =b c m , a b ,且 a , b 是方程 x2 ( m 1) x +m + 4 = 0 的兩根 . ( 1) 求 a 和 b 的值 . ( 2) △ A 39。B 39。C 39。 不△ ABC 開始時(shí)完全重合 , 然后讓△ ABC 固定丌動 , 將△ A 39。B 39。C 39。 以 1 c m / s 的速度沿 BC 所在的直線向左移動 . ① 設(shè) x s 后△ A 39。B 39。C 39。 不△ ABC 重疊部分的面積為 y cm2, 求 y 不 x 之間的函數(shù)解析式 , 并寫出 x 的取值范圍 。 ② 幾秒后重疊部分的面積等于38 cm2? 圖 Z6 3 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 解 : ( 1) ∵ a , b 是方程 x2 ( m 1) x +m + 4 = 0 的兩根 , ∴ a+ b =m 1, a b =m + 4 . 又 ∵ a , b 是 Rt △ ABC 的兩直角邊 , AB= 5, ∴ a2+b2= 25, ∴ ( a+b )2 2 a b = 25, ∴ ( m 1)2 2( m+ 4) = 25, 解得 m1= 8, m2= 4(