函數(shù)的值域與最值(已修改)
2025-05-28 02:04 本頁面
【正文】 函數(shù)的最值（值域）一、相關(guān)概念值域：函數(shù)，我們把函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。二、基本函數(shù)的值域一次函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽； 二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}，的值域?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)椤?duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽；分式函數(shù)的值域?yàn)?。三、求函?shù)值域的方法（1）觀察法(用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，如：；；等)例如：求下列函數(shù)的值域：。變式：（2）直接法：利用常見函數(shù)的值域來求，例如 ：下列函數(shù)中值域是（0，+ ）的是 （ ）A． B. C. D. 解析：通過基本函數(shù)的值域可知：A的值域?yàn)閇0, + ）,C的值域?yàn)閇0,1],D的值域?yàn)閇2, + ).答案：B（3）配方法：常可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型，配成完全平方式，根據(jù)變量的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的特征來求最值；例：求值域：； 解析：通過配方可得 ；開口向上，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值；當(dāng)x時(shí)，在時(shí)，函數(shù)的最小值為；最大值在x=3時(shí)取到，；故其值域?yàn)閇,13]。 練習(xí)： 例：求函數(shù)的值域。解：本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解,為便于計(jì)算不妨設(shè):配方得:利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得,從而得出：。說明：在求解值域(最值)時(shí),本題為：。變式1：求函數(shù)y=的值域.（答：（0,5]）變式2：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___（答：）；變式3： （1）求最值。（動(dòng)軸定區(qū)間）（2）求的最值（定軸動(dòng)區(qū)間）變式4：已知sinx＋siny＝，則函數(shù)μ＝sinx－cos2y的最大值為________；最小值為_________。答案：。解析：（4）換元法（代數(shù)換元法）通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，化歸思想；例、求函數(shù)的值域。解：由于題中含有不便于計(jì)算，但如果令：注意從而得：變形得即：點(diǎn)評(píng)：在使用換元法換元時(shí)一定要注意新變量的范圍，否則將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。變式1：求函數(shù)的值域. 解析：令 （t0），則，故；用配方法求的y的值域?yàn)?。變?：的值域?yàn)開____（答：）； 變式3： 的值域?yàn)開___（答：）；變式4：函數(shù)的值域?yàn)開___（答： [，1]）(提示：三角代換)變式5：求函數(shù)的值域（答：[,8]）(提示：令t=，)。變式6：已知是圓上的點(diǎn)，試求的值域。解：在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過：注意到可變形為：令則p)即故例：試求函數(shù)的值域。B解：題中出現(xiàn)而由此聯(lián)想到將視為一整體，令由上面的關(guān)系式易得故原函數(shù)可變形為：（5）分離常數(shù)法（分式轉(zhuǎn)化法）；，可通過分離常數(shù)法，化成(常數(shù))的形式來求值域． 例：求函數(shù)的值域。解:觀察分子、分母中均含有項(xiàng),可利用部分分式法；則有 不妨令：從而注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除,另解：觀察知道本題中分子較為簡(jiǎn)單,可令,求出的值域,進(jìn)而可得到y(tǒng)的值域。（6）逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：例：求函數(shù)的值域。解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型,易反解出x,從而便于求出反函數(shù)。反解得 即反函數(shù)的定義域即是原函數(shù)的值域。故函數(shù)的值域?yàn)椋?。變?：函數(shù)y=的值域是（ ）A.［－1，1］ B.（－1，1］ C.［－1，1） D.（－1，1）解法一：y==－1. ∵1+x2≥1，∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.解法二：由y=，得x2=.∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1.解法三：令x=tanθ（－＜θ＜），則y==cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤：B變式2:求函數(shù)的值域變式3:求函數(shù)，及的值域（7）利用判別式法 針對(duì)分式型，尤其是分母中含有時(shí)常用此法。通常去掉分母將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，則在a（y）≠0時(shí)，由于x、y為實(shí)數(shù)，故必須有Δ=b2（y）－4a（y）c（y）≥0，從而確定函數(shù)的最值，檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的x值.例：求函數(shù)的值域。解：由于本題的分子、分母均為關(guān)于x的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為：整理得：當(dāng)時(shí)，上式可以看成關(guān)于的二次方程，該方程的范圍應(yīng)該滿足即此時(shí)方程有實(shí)根即△,△細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，在前面限定而結(jié)果卻出現(xiàn)：我們是該舍還是留呢？注意：判別式法解出值域后一定要將端點(diǎn)值（本題是）代回方程檢驗(yàn)。將分別代入檢驗(yàn)得不符合方程，所以。變式：的值域。 ②；[1,5]③注意：，如果定義域不是R，也可用，但需對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、既對(duì)y取得等號(hào)值的時(shí)候?qū)?yīng)的x值是否在定義域范圍內(nèi)。轉(zhuǎn)化后要對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)是否為零進(jìn)行討論，就不好用判別式法了分子分母有公因式的時(shí)候不能用判別式法，要先化簡(jiǎn)。如求函數(shù)的值域。原函數(shù)可化為 =(), 即 1+(),0,（8）三角有界法：運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，如，可用表示出，再根據(jù)解不等式求出的取值范圍.例：求函數(shù)，的值域（答： 、）；求函數(shù)的值域。 （9）基本不等式法：利用基本不等式，；求函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”.設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.（答：）。雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）。A B 4 C 2 D
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