函數(shù)的奇偶性與周期性(已修改)
2025-05-28 01:56 本頁(yè)面
【正文】 . .. . ..第六節(jié) 函數(shù)的奇偶性及周期性一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定 義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)二、周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．課前檢測(cè)1．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝ex D．y＝ln 解析：選D?。絪in x為奇函數(shù)．冪函數(shù)y＝x3也為奇函數(shù)．指數(shù)函數(shù)y＝ex為非奇非偶函數(shù)．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln為偶函數(shù)．2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b 的值是( )A．－ B.C. D．－解析：選B ∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：選B ∵f(x)為奇函數(shù)且f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.4．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：法一：∵f(－x)＝f(x)對(duì)于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對(duì)于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0，對(duì)于x∈R恒成立，故a＝0.法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0.答案：05．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3cos x＋(a)＝11，則f(－a)＝________.解析：觀察可知，y＝x3cos x為奇函數(shù)，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9 、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；反之亦然；(3)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反．2．若函數(shù)滿(mǎn)足f(x＋T)＝f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；應(yīng)注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期．一、函數(shù)奇偶性的判斷[例1] 設(shè)Q為有理數(shù)集，函數(shù)f(x)＝g(x)＝，則函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)( )A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D．既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)[自主解答] ∵當(dāng)x∈Q時(shí)，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；當(dāng)x∈?RQ時(shí)，－x∈?RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－，對(duì)任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù)．∴h(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1