函數(shù)的奇偶性與周期性-展示頁
2025-05-25 01:56本頁面
【正文】 數(shù)a＝________.解析：法一：∵f(－x)＝f(x)對于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0，對于x∈R恒成立，故a＝0.法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0.答案：05．設函數(shù)f(x)＝x3cos x＋(a)＝11，則f(－a)＝________.解析：觀察可知，y＝x3cos x為奇函數(shù)，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9 、偶函數(shù)的有關性質(zhì)：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；反之亦然；(3)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；(4)利用奇函數(shù)的圖象關于原點對稱可知，奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱可知，偶函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．2．若函數(shù)滿足f(x＋T)＝f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個周期；應注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期．一、函數(shù)奇偶性的判斷[例1] 設Q為有理數(shù)集，函數(shù)f(x)＝g(x)＝，則函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)( )A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D．既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)[自主解答] ∵當x∈Q時，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；當x∈?RQ時，－x∈?RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－，對任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù)．∴h(－x)＝f(－x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)，∴函數(shù)h(x)＝f(x)g(1)＝，h(－1)＝f(－1)1，∴f(x)的定義域為{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝177。f(－x)＝0產(chǎn)生關于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值．(3)奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．以題試法2．(1)已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＋b＝________.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：(1)當x0時，則－x0，所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.(2)因為f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，要使f(3－a2)f(2a)，只需3－a22a，解得－3a1.答案：(1)0 (2)(－3,1)三、函數(shù)的周期性及其應用[例3]設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________.[自主解答] 依題意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，則f＝f＝f＝＋1＝.[答案] 由題悟法1．周期性常用的結(jié)論：對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a.2．周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用．以題試法3．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式．解：(1)
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