【正文】 第三章 回歸分析預(yù)測(cè)方法 5 非線性 回歸預(yù)測(cè)法 1 引言 2 一元線性 回歸預(yù)測(cè)法 3 多元線性 回歸預(yù)測(cè)法 4 虛擬變量 回歸預(yù)測(cè) 要求掌握以下內(nèi)容： 概念部分： ? 1. 變量之間的關(guān)系可以分成哪兩類 ? 2. 回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別和聯(lián)系 ? 3. 一元線性回歸（ Linear regression） ? 4. 最小二乘回歸法的基本思想 ? 5. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn) ? 6. 區(qū)間估計(jì) ? 7. 虛擬變量 計(jì)算部分： ? 8. 一元線性回歸預(yù)測(cè)法 第一節(jié) 引言 本章學(xué)習(xí)目的與要求： 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，了解回歸分析預(yù)測(cè)法的概念，掌握回歸分析中各系數(shù)的計(jì)算方法及回歸預(yù)測(cè)方法，能夠運(yùn)用 Excel工具來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。 回本章目錄 案例： ? 有 20戶家庭，冬天的取暖費(fèi)用與 3個(gè)因素有關(guān)：日間戶外的平均溫度，閣樓絕緣層的厚度，以及爐子的使用年數(shù)。如果某一家庭的平均戶外溫度是 F30度，閣樓絕緣層的厚度為 5英寸，爐子已使用過(guò) 10年，它的冬天取暖費(fèi)用為多少？ 一、回歸與回歸分析預(yù)測(cè)方法 “ 回歸 ” 一詞的涵義 ? “ 回歸 ” 最初是遺傳學(xué)中的一個(gè)名詞，由英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾登首先提出。他在研究人類的身高時(shí)，發(fā)現(xiàn)子女身高有回歸于人類的平均身高的趨勢(shì)。 ? 回歸現(xiàn)代涵義 研究自變量與因變量之間的關(guān)系形式的分析方法。 目的：根據(jù)已知自變量來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè)因變量的值。 例如： 農(nóng)作物畝產(chǎn)量 施肥量 降雨量 氣溫 ? 在研究某一社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展變化規(guī)律時(shí)，經(jīng)過(guò)分析可以找到影響這一現(xiàn)象變化的原因。在回歸分析中，把某一現(xiàn)象稱為 因變量 ，它是預(yù)測(cè)的對(duì)象，把引起這一現(xiàn)象變化的因素稱為 自變量 ，它是引起這一現(xiàn)象變化的原因。而因變量則反映了自變量變化的結(jié)果。 ? 回歸分析預(yù)測(cè)方法 就是從各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的相互關(guān)系出發(fā)，通過(guò)對(duì)與預(yù)測(cè)對(duì)象有聯(lián)系的現(xiàn)象變動(dòng)趨勢(shì)的分析，推算預(yù)測(cè)對(duì)象未來(lái)狀態(tài)數(shù)量表現(xiàn)的一種預(yù)測(cè)方法。 二、回歸分析和相關(guān)分析 ? 變量之間的關(guān)系 ? 現(xiàn)實(shí)世界中，每一事物都與它周圍的事物相互聯(lián)系、相互影響，反映客觀事物運(yùn)動(dòng)的各種變量之間也就存在著一定的關(guān)系。變量之間的關(guān)系可以分成兩類： 函數(shù)關(guān)系 和 相關(guān)關(guān)系。 （ 1）函數(shù)關(guān)系 。函數(shù)關(guān)系反映客觀事物之間存在著嚴(yán)格的依存關(guān)系，是一種 確定性關(guān)系， 亦即當(dāng)其它條件不變時(shí)，對(duì)于某一自變量或幾個(gè)自變量的每一數(shù)值，都有因變量的一個(gè)的確定值與之相對(duì)應(yīng)，并且這種關(guān)系可以用一個(gè)確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式反映出來(lái)。 ? 設(shè)有兩個(gè)變量 x和 y， y與 x一起變化并完全依賴于 x，當(dāng) x取某個(gè)數(shù)值時(shí)， y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱 y是 x的函數(shù)，記作 y=f(x)。 ? 如，企業(yè)的原材料消耗金額 y與產(chǎn)量 x單位產(chǎn)量消耗 x原材料價(jià)格 x3之間的關(guān)系可表示為 y=x1x2x3。例：圓面積對(duì)于半徑的依存關(guān)系，正方形的面積對(duì)于邊長(zhǎng)的依存關(guān)系等等。 ? 變量間的函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系。 （ 2）相關(guān)關(guān)系 ? 相關(guān)關(guān)系 。反映事物之間的非嚴(yán)格、不確定的線性依存關(guān)系。 有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)： ① 事物之間在數(shù)量上確實(shí)存在一定的內(nèi)在聯(lián)系。表現(xiàn)在一個(gè)變量發(fā)生數(shù)量上的變化，要影響另一個(gè)變量也相應(yīng)地發(fā)生數(shù)量上的變化。 例： ② 事物之間的數(shù)量依存關(guān)系不是確定的，具有一定的隨機(jī)性。表現(xiàn)在給定自變量一個(gè)數(shù)值，因變量會(huì)有若干個(gè)數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，并且因變量總是遵循一定規(guī)律圍繞這些數(shù)值平均數(shù)上下波動(dòng)。其原因是影響因變量發(fā)生變化的因素不止一個(gè)。 例 ：影響 工業(yè)總產(chǎn)值 的因素除了 職工數(shù) 外，還有固定 資產(chǎn)原值 、 流動(dòng)資金 和 能耗 等因素。 成本 勞動(dòng)生產(chǎn)率 ? 相關(guān)關(guān)系的特點(diǎn) 1．變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)。 2．一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定。 3．對(duì)于線性相關(guān)，各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍。 3 2 1 0 1 221012( a )xy2 1 0 1 221012( b )xy2 1 0 1 221012( c )xy3 2 1 0 1 2 302468( d )xy3 2 1 0 1 221012( a )xy2 1 0 1 221012( b )xy2 1 0 1 221012( c )xy3 2 1 0 1 2 302468( d )xy不相關(guān) 正相關(guān) 負(fù)相關(guān) 相關(guān)但無(wú)線性關(guān)系 回歸分析與相關(guān)分析 研究和測(cè)度兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間關(guān)系的方法有 回歸分析 和 相關(guān)分析 。 ? 相關(guān)分析 。研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量之間線性依存關(guān)系的緊密程度。通常用相關(guān)系數(shù)表示，多元相關(guān)時(shí)用復(fù)相關(guān)系數(shù)表示。 ? 回歸分析 。研究某一隨機(jī)變量（因變量）與其他一個(gè)或幾個(gè)普通變量（自變量）之間的數(shù)量變動(dòng)的關(guān)系。 區(qū) 別 相關(guān)分析 研究變量都是隨機(jī)變量，不分自變量與因變量 回歸分析 明確的自變量和因變量，自變量是確定的普通變量，因變量是隨機(jī)變量。 聯(lián) 系 相關(guān)分析 事物之間相互依存關(guān)系的兩個(gè)不可分割的方面。在實(shí)際工作中，一般先進(jìn)行相關(guān)分析，由相關(guān)系數(shù)的大小決定是否需要進(jìn)行回歸分析。在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上建立回歸模型，以便進(jìn)行推算、預(yù)測(cè)。 回歸分析 ? 相關(guān)分析 相關(guān)關(guān)系 線性相關(guān) 非線性相關(guān) 完全相關(guān) (R=177。 1) (即線性相關(guān) ) 不相關(guān) (R=0) 正相關(guān) 負(fù)相關(guān) 正相關(guān) 負(fù)相關(guān) ? 相關(guān)系數(shù) —— 對(duì)變量之間關(guān)系密切程度的度量 ? 的取值范圍是 [1,1]: 完全相關(guān) /完全正相關(guān) /完全負(fù)相關(guān) /不存在線性相關(guān)關(guān)系 /負(fù)相關(guān) /正相關(guān) 一般， ︱ r︱ ＞ ； ︱ r︱ ＜ ；＜ ︱ r︱ ＜ 為中度相關(guān)。 r?r? ???????222 )()(*)())((iiiiiyyxxyyxx? 相關(guān)系數(shù)的缺點(diǎn)： r接近于 1的程度與 n有關(guān)。當(dāng) n較小時(shí) r的波動(dòng)較大，當(dāng) n較大時(shí) r的絕對(duì)值容易偏小。例如， n=2時(shí)， r的絕對(duì)值總為 1（兩點(diǎn)連線總為一條直線） 。 ? 例 31 設(shè)有 10個(gè)廠家的投入和產(chǎn)出如下，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們可以認(rèn)為投入和產(chǎn)出之間存在相關(guān)性嗎？ （相關(guān)數(shù)據(jù)） 廠家 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投入 20 40 20 30 10 10 20 20 20 30 產(chǎn)出 30 60 40 60 30 40 40 50 30 70 ? 回歸分析 是研究某一隨機(jī)變量 (因變量 )與其他一個(gè)或幾個(gè)普通變量 (自變量 )之間的數(shù)量變動(dòng)的關(guān)系。其 基本思路 是：從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著。然后利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來(lái)預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度。 回歸分析的基本思路 三、回歸模型的種類 ? (1)根據(jù) 自變量 的多少，回歸模型可以分為一元回歸模型和多元回歸模型。 ? (2)根據(jù)模型中自變量與因變量之間 是否線性 ，可以分為線性回歸模型和非線性回歸模型。 ? (3)根據(jù)回歸模型是否帶有 虛擬變量 ，回歸模型可以分為普通回歸模型和帶虛擬變量的回歸模型。 應(yīng)用回歸分析預(yù)測(cè)需滿足條件： （以多于 20個(gè)較好）； ； 第二節(jié) 一元線性回歸預(yù)測(cè)法 ? 一元線性回歸（ Linear regression） 是指成對(duì)的兩個(gè)變量數(shù)據(jù)分布大體上呈直線趨勢(shì)時(shí)，運(yùn)用合適的參數(shù)估計(jì)方法，求出一元線性回歸模型，然后根據(jù)自變量與因變量之間的關(guān)系，預(yù)測(cè)因變量的趨勢(shì)。 ? 現(xiàn)實(shí)中，很多社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間都存在相關(guān)關(guān)系，因此，一元線性回歸預(yù)測(cè)有很廣泛的應(yīng)用。進(jìn)行一元線性回歸預(yù)測(cè)時(shí)，必須選用合適的統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)模型參數(shù)，并對(duì)模型及其參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 回本章目錄 一、一元線性回歸模型 ? 一元線性回歸（ Linear regression）， 只研究一個(gè)自變量與一個(gè)因變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。 ? 對(duì)于只涉及一個(gè)自變量的簡(jiǎn)單線性回歸模型可表示為： ? 其中， b0和 b1稱為模型的參數(shù)； e是隨機(jī)誤差項(xiàng)，又稱隨機(jī)干擾項(xiàng)，有 01yxb b e? ? ?? ?20,Ne?在線性回歸模型中加入隨機(jī)誤差項(xiàng)是基于以下原因： ? 第一，模型不可能包含所有的解釋變量。 ? 第二，模型的設(shè)定誤差。 ? 第三，測(cè)量誤差的影響。 ? 第四，其他隨機(jī)因素的影響。 ? 簡(jiǎn)單線性回歸方程 的形式為 也稱為 直線回歸方程 。其中， b0是回歸直線在 y軸上的截距； b1是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)，表示當(dāng) x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)， y的平均變動(dòng)值。