多自由度系統(tǒng)振動(dòng)ppt課件(已修改)
2025-05-15 22:04 本頁(yè)面
【正文】 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) 第四章 3 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 2 教學(xué)內(nèi)容 ? 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 頻率方程的零根和重根情形 ? 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) ? 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 3 小結(jié)： 作用力方程、位移方程和矩陣 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 )( XMPFX ????位移方程 柔度矩陣： F中的元素 fij是使 系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)受到單位力 作用時(shí)相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移 . 柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系： 1?? KF IFK ?位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)。 )( tPXKXM ????作用力方程 剛度矩陣： K 中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力 。 質(zhì)量矩陣 ： M 中的元素 mij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力 。 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 4 小結(jié)： 耦合與坐標(biāo)變換 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱(chēng)為 慣性耦合。 剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱(chēng)為 彈性耦合。 不出現(xiàn)慣性耦合時(shí) ， 一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上引起慣性力 . 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇 同一個(gè)系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo) X 和 Y 有變換關(guān)系： TYX ?坐標(biāo) X下系統(tǒng)： PKXXM ????坐標(biāo) Y 下系統(tǒng)： PTK T YTYMTT TTT ????其中 T 是非奇異矩陣 如果恰巧 Y 是主坐標(biāo)： MTT T KTTT 對(duì)角陣 這樣的 T 是否存在？如何尋找？ 不出現(xiàn)彈性耦合時(shí) ， 一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力 . 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 5 當(dāng) T 矩陣非奇異時(shí)，稱(chēng)矩陣 A 與矩陣（ TTAT） 合同。 對(duì)于質(zhì)量矩陣也如此。 線性代數(shù)知 : 合同矩陣具有相同的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)與相同的正定性質(zhì)。 對(duì)稱(chēng)性質(zhì)： 若矩陣 A 對(duì)稱(chēng)，則（ TTAT）對(duì)稱(chēng)。 證明： 矩陣 A 對(duì)稱(chēng)， A＝ AT 則有： (TTAT)T＝ TTAT(TT)T＝ TTAT 正定性質(zhì)： 若原來(lái)的剛度矩陣 K 正定，則（ TTKT）仍正定。 因此坐標(biāo)變換 X ＝ TY 不改變系統(tǒng)的正定性質(zhì)。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 6 小結(jié)： 回顧：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)－無(wú)阻尼自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般過(guò)程： 由工程裝置建立自由振動(dòng)的一般方程，并寫(xiě)出振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程； 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立本征方程并計(jì)算得到本征值； 根據(jù)本征值，寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程的通解； 根據(jù)初始條件，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程的特解。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般目標(biāo)： 求系統(tǒng)的固有角頻率，即固有頻率； 求解標(biāo)準(zhǔn)方程。 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 7 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 固有頻率 ? 模態(tài) ? 模態(tài)的正交性 ? 主質(zhì)量和主剛度 ? 模態(tài)疊加法 ? 模態(tài)截?cái)喾? 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 8 ? 多自由度系統(tǒng)的固有頻率 作用力方程： t??M X K X P ( ) nR?X自由振動(dòng)方程： ??M X K X 0 在考慮系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí) ， 最感興趣的是系統(tǒng)的 同步振動(dòng) ， 即系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外 ，隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻率為振動(dòng)頻率。 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 9 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 同步振動(dòng)： 系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外 ， 隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 振動(dòng)形式 1 振動(dòng)形式 2 振動(dòng)形式 3 三自由度系統(tǒng) 思考：同步振動(dòng)是不是解耦振動(dòng) ？ 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 10 ? 多自由度系統(tǒng)的固有頻率 作用力方程： )( tPKXXM ???? nR?X自由振動(dòng)方程： 0KXXM ????)( tfφ?X 1)( Rtf ?代表著振動(dòng)的形狀 常數(shù)列向量 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) Tn ][ 21 ??? ??φ Tnxxx ][ 21 ??X和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻率為振動(dòng)頻率。 同步振動(dòng)： 系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外 ， 隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 11 M X + K X = 0 )(tfφ?X代入，并左乘 ： Tφ 0KM ?? )()( tftf TT φφφφ ?????? φφ φφ MKTTtftf)()(??? ：常數(shù) M 正定， K 正定或半正定 對(duì)于非零列向量 ： φ 0?φφ MT 0?φφ KT2?? ? 0??令： 對(duì)于半正定系統(tǒng)，有 0??對(duì)于正定系統(tǒng)必有 0??2??nR?X nR?φ多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 12 2)()( ?? ????φφφφMKTTtftf?? 0)()( 2 ?? tftf ????????????0 ,)(0),s i n()(????battftatf?a、 b、 為常數(shù) 0KXXM ???? )(tfφ?X（ 1）正定系統(tǒng) 只可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)。 )s i n ( ?? ?? taφX系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都是按相同頻率及初相位作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 （ 2）半正定系統(tǒng) 可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)。 )s i n ( ?? ?? taφX也可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng) )( bat ??φX （不發(fā)生彈性變形 ）。 主振動(dòng) 0??0??多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 13 首先討論正定系統(tǒng)的主振動(dòng)： M 正定， K 正定 0??主振動(dòng)： )s i n ( ?? ?? taφX正定系統(tǒng)： 0KXXM ???? nR?X將常數(shù) a 并入 中 φ )s i n ( ?? ?? tφXTn ][ 21 ??? ??φ代入振動(dòng)方程： 0)( 2 ?? φMK ?有非零解的充分必要條件： φ0MK ?? 2?特征方程 0222212122222222212211211221211211??????????nnnnnnnnnn
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