隱函數(shù)及參數(shù)方程的求導方法,高階導數(shù)(已修改)
2025-05-12 13:59 本頁面
【正文】 第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程的求 導方法、高階導數(shù) 一、隱函數(shù)的微分法 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 第三模塊 函數(shù)的微分學 三、對數(shù)微分法 四、高階導數(shù) 一、隱函數(shù)的微分法 例 1 設方程 x2 + y2 = R2(R 為常數(shù) )確定函數(shù) y = y(x)， .ddxy求解 在方程兩邊求微分， d(x2 + y2 ) = dR2， 即 2xdx + 2ydy = 0. 由此，當 y ? 0 時解得 ，yxxy ??dd或 .yxy x ???例 2 設方程 y + x – exy = 0 確定了函數(shù) y = y(x)， .xy?求解 方程兩邊求微分，得 d(y + x – exy) = d0， 即 dy + dx dexy = 0， dy + dx – exy(xdy + ydx ) = 0. 當 1 xexy ? 0 時，解得 ，xyxyxyxye11edd???即 .e11exyxyx xyy???? 例 3 求曲線 x2 + y4 = 17 在 x = 4 處對應于曲線上的點的切線方程 . 解 方程兩邊求微分，得 2xdx + 4y3dy = 0， 得 ).0(2dd 3 ??? yyxxy 即對應于 x = 4 有兩個縱坐標 ， 這就是說曲線上有兩個點 P1(4, 1) 和 P2(4, 1). 將 x = 4 代入方程，得 y = ? 1. 在 P1 處的切線斜率 y?|(4,1)= 2， y – 1 = 2(x 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在點 P2 處的切線方程為 y + 1 = 2(x 4)，即 y 2x + 9 = 0 在 P2 處切線的斜率 y?|(4, 1) = 2. 所以，在點 P1 處的切線方程為 補證反三角函數(shù)的導數(shù)公式： 設 y = arcsin x，則 x = sin y，兩邊對 x 求微分，得 dx = cos ydy， .c os1 yy ??時，因為 22 ??? y≤ ≤ cos y 取正號， .1s i n1c os 22 xyy ????所以.11)( a r c s i n2xx???二、由參數(shù)方程所確定的 函數(shù)的微分法 參數(shù)方程，它的一般形式為 . )( )( Ittfy tx 區(qū)間， ?????? ?對方程 ② 兩邊求微分，得 ① ② dy = f ?(t)dt， 同樣對方程 ① 兩邊求微分，得 dx = ? ?(t)dt， ③ ④ 得④③,d)( d)(dd tt ttfxy ? ???即 .)( )( ttf
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