【正文】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程 第八章 主講教師：程維虎教授 北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 第八章 : 假設(shè)檢驗(yàn) 167。 基本概念 下面 ， 我們討論不同于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題 —— 根據(jù)樣本提供的信息 ， 檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立的問(wèn)題 。 這類問(wèn)題稱為假設(shè)檢驗(yàn)。 假設(shè)檢驗(yàn) ?參數(shù)檢驗(yàn) 非參數(shù)檢驗(yàn) 總體分布已知 情 形下，檢 驗(yàn)未知 參數(shù)的某個(gè)假設(shè) 總體分布未知情形 下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 先看一個(gè)例子。 例 1： 某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖 , 包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量 , 它服從正態(tài)分布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí) , 其均值為 , 標(biāo)準(zhǔn)差為 kg。某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常 , 隨機(jī)地抽取它所包裝的糖 9袋 , 稱得凈重量 (kg)為： , , , , , , , , 。問(wèn) : 從樣本看機(jī)器是否正常 ? 以 μ和 σ分別表示這一天袋裝葡萄糖重量總 體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于長(zhǎng)期實(shí)踐表明標(biāo)準(zhǔn)差 比較穩(wěn)定，我們就設(shè) σ =。 檢驗(yàn)“ 機(jī)器是否正常 ”等價(jià)于檢驗(yàn)“ X是否服從正態(tài)分布 N(μ, )”。 ● 確定總體： 記 X 為該 車(chē)間包裝機(jī)包裝的袋裝 葡萄糖的重量 ，則 X ～ N(?, )； ● 明確任務(wù) ： 通過(guò)樣本推斷“ ?是否等于 ”； ● 建立 假設(shè)： 上面的任務(wù)是要通過(guò)樣本檢驗(yàn) “ ? =” 的假設(shè)是否成立。 I. 如何建立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 原假設(shè)的對(duì)立面 是 “ ? ≠”， 稱為 “對(duì)立假設(shè)” 或 “備擇假設(shè)” ,記成 “ H1:? ≠ ”。把原假設(shè)和對(duì)立假設(shè)合寫(xiě)在一起，就是 : H0： ? =； H1： ? ≠. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把 “ ? =” 這樣一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記為 “原假設(shè)” 或 “零假設(shè)” , 記成 “ H0： ? =”。 II. 解決問(wèn)題的思路 因樣本均值是 μ 的一個(gè)很好的估計(jì)。所以，當(dāng) ? =，即原假設(shè) H0 成立時(shí) , 應(yīng)比較?。? 如果該值過(guò)大 , 想必 H0 不成立。 于是，我們就用 的大小來(lái)判定 H0 是否成立。 || ?X || ?X 合理的做法應(yīng)該是：找出一個(gè)界限 c， . || || 00HcXHcX拒絕原假設(shè)時(shí)，當(dāng)；接受原假設(shè)時(shí)，當(dāng)???? 這里的問(wèn)題是：如何確定常數(shù) c 呢？ 細(xì)致地分析 : 根據(jù)定理 ，有 . 1 0(~9/0 . 0 1 5 )9/ ,(~ 2 ），或 NXNX ?? ?于是，當(dāng)原假設(shè) H0:μ= 成立時(shí)，有 . )1 ,0(~9/0 NX ?為確定常數(shù) c，我們考慮一個(gè)很小的正數(shù) ?， 如 ? = 。 當(dāng)原假設(shè) H0:μ=，有 ， 9/0 1 ||2/ ?? ??????? ?? zXP? ? . )9/(|| 2/ ?? ??? zXP即. )9/0 1 ( 2/?z c ?取故，于是，我們就得到如下 檢驗(yàn)準(zhǔn)則 : . || || 00HcXHcX拒絕原假設(shè)時(shí)，當(dāng)；接受原假設(shè)時(shí)，當(dāng)????. )9/0 1 ( 2/?zc ?其中 9/ || 為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；或稱 ??? XUX或，稱 )9/( || 2/?zX ??2/9/0 1 ||||?zXU ???為 H0 的拒絕域 。 用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問(wèn)題， 所以， 拒 絕 H0:μ=，認(rèn)為機(jī)器異常 。 , ?X得經(jīng)計(jì)算，.0 0 9 1 . 9 6 )9/( )9/( 2/???? ?zc.|| cX ???故， 因?yàn)?，?dāng) H0:μ = 成立時(shí)， 所以，當(dāng) ? 很小時(shí)，若 H0 為真 (正確 ), 則 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域 是一小概率事件 (概率很小 ,為 ? )。前面曾提到過(guò) ： “ 通常認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生 ” 。 III. 方 法原 理 ? ? . )9/0 1 (|| 2/ ?? ??? zXP那么，一旦小概率事件發(fā)生，即 : 發(fā)生 , 就認(rèn)為 H0不正確。 ? ?2/)9/(|| ?zX ??IV. 兩類錯(cuò)誤與顯著性水平 當(dāng)我們檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) H0 時(shí)，有可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一： H0 正確，但我們認(rèn)為其不正確，這就犯了 “棄真” 的錯(cuò)誤，即拋棄了正確的假設(shè)； H0 不正確，但被卻誤認(rèn)為正確，這就犯了 “取偽” 的錯(cuò)誤，即采用了偽假設(shè)。 因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯(cuò)誤。 通常分別用 α 和 β 記犯第一、第二類錯(cuò)誤的概率，即 . } | { } | {0000為假接受，為真拒絕HHPHHP???? 在檢驗(yàn)問(wèn)題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯(cuò)誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率 。反之亦然。 所以， 犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)得到控制。 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通?？刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概概率。一般事先選定一個(gè)數(shù) ?(0?1)，要求 犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò) ?。 稱 ? 為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，簡(jiǎn)稱水平 。 犯第二類錯(cuò)誤的概率的計(jì)算超出了課程的教學(xué)范圍。因此，不作討論。 例 1(續(xù) )： 分析該例的顯著性水平。 H0:μ=， 現(xiàn)在我們來(lái)分析一下 : 取上述 c 后 , 如果 H0 是正確的 ， 卻被我們拒絕了 。 這時(shí) ， 犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少呢 ？ || 我們拒絕了原假設(shè)時(shí)，因?yàn)楫?dāng) cX ??. )9/0 1 ( 2/?zc ?其中 可見(jiàn)：用該方法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率等于 ?，即 顯著性水平等于 ?。 因?yàn)?當(dāng) H0:μ= 成立時(shí)，有 分析 : . )1 ,0(~9/0 NX ?? ? . )9/(|| 2/ ?? ??? zXP從而，? ? . | 00 ??為真拒絕接受即 HHP167。 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) 單正態(tài) 總體 N(?, ?2)均值 ? 的檢驗(yàn) 1. 雙邊檢驗(yàn) H0: μ = μ0； H1: μ≠μ0 假設(shè) ? 2已知， 根據(jù)上節(jié)中的例 1，當(dāng)原假設(shè) H0:μ = μ0 成立時(shí)，有 . )1 ,0(~/0 NnX???，所以， ???? ????????? 2/0/ znXP 在應(yīng)用上， ? 2未知的情況是常見(jiàn)的。此時(shí)，和前面不同的是： 常用樣本方差 S 2代替未知的 ? 2 。 以上檢驗(yàn)法稱作 U 檢驗(yàn)法 。 . 2/0 ??? ? ??????? ?? znXP即 0 拒絕域?yàn)樗裕?H. 2/0 ??? znX ?? . ~/ 10 ?? ntnSX ? 當(dāng) ?2未知時(shí)， 根據(jù)基本定理 ，當(dāng)H0: μ = μ0 成立時(shí)，有 ，所以， ??? ????????? ? )2/(/ 10 ntnSXP. )2/( 10 ??? ??????? ???n tnSXP即的拒絕域?yàn)楣?0H此檢驗(yàn)法稱作 t 檢驗(yàn)法 。 . )2/( 10 ?? ??? ntnSX例 1: 某種電子元件的壽命 X(以小時(shí)計(jì) )服從正態(tài)分布 N(?, ? 2) , ? 和 ? 2未知 , 現(xiàn)測(cè)得 16只元件壽命如下 : 159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264, 222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170. 在 α =，問(wèn)：從數(shù)據(jù)看，是否有理由認(rèn)為元件平均壽命 ? =225小時(shí) ? 解： α =， n=16。欲檢驗(yàn) H0:μ=μ0 。 H1: μ≠μ0 ， 其中 μ0=225。 ，通過(guò)計(jì)算，得 7 2 4 1 ?? SX,|||| 0 ???? ?X,16)2/(1 ???? ?ntnS).2/(|| 10 ?? ??? ntnSX 所以，接受原假設(shè)為真，即認(rèn)為元件平均壽命 ? 為 225小時(shí)。 上一段中， H0:μ=μ0 。 H1: μ≠μ0 的對(duì)立假設(shè)為 H1: μ ≠μ0 , 該假設(shè) 稱為 雙邊對(duì)立假設(shè) 。 2. 單邊檢驗(yàn) H0: μ =μ0。 H1: μ μ0 而現(xiàn)在要處理的對(duì)立假設(shè)為 H1:μ μ0, 稱為 右邊 對(duì)立假設(shè) 。 類似地 , H0: μ =μ0。 H1: μ μ0 中 的對(duì)立假設(shè) H1: μ μ0, 假設(shè)稱為左邊 對(duì)立假設(shè) 。 右邊 對(duì)立假設(shè)和 左邊 對(duì)立假設(shè)統(tǒng)稱 為單邊對(duì)立假設(shè)，其檢驗(yàn)為單邊檢驗(yàn)。 例如： 工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，均值為 μ0。 采用新技術(shù)或新配方后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)還服從正態(tài)分布，但均值為 ? 。我們想了解 “ ?是否顯著地大于 μ0”, 即產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)是否顯著地增加了 。 如果 μ =μ0，即原假設(shè)成立，則 就不應(yīng)太大；反之，如果 過(guò)大，就認(rèn)為原假設(shè)不成立。 0X ??在 ?2已知情況下， 根據(jù)定理 ，知： 0X ??當(dāng)原 假設(shè) 成立時(shí)，