【正文】 1 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 2 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 3 167。 1 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對(duì)第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個(gè)重要不等式 4 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?222225 .1 ,0, 1X E X D XP X E XP X E X???????????? ? ? ?? ? ? ?定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 具 有 數(shù) 學(xué) 期 望 方 差 則 對(duì) 于 任 意 都 有 ：定 理 的 為 ：等 價(jià) 形 式? ? ? ? ,fx證 明 ： 僅 就 X 為 連 續(xù) 型 時(shí) 證 之 設(shè) X 的 概 率 密 度 為? ? ? ?xP X f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x dx???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DX ?????()fx??? ????5 例 1：在 n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件 A 出現(xiàn)的概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦? 計(jì) n,使 A出現(xiàn)的頻率在 小于 。 nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0 . 7 5bn?則 X,? ? ? ?0 . 7 5 , 0 . 1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?? ?n XfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?而? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 .9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??6 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 35 .1 , , , ,0 , 0 ,nnnXXlim P XXpn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ????。定 義 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 X 若 存 在 某 常 數(shù) ， 使 得 均 有 ： 則 稱(chēng) 隨 機(jī) 變 量 序 列 依 概 率 收 斂 于 常 數(shù) ， 記 為 ： X7 ? ?? ?12211, , , ,101l im l im 1nnnkknnknnkXXn Y XnP Y P Xn???? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 X 相 互 獨(dú) 立 ， 且 具 有 相 同 的 數(shù) 學(xué) 期 望 和 相 同 的 方 差 ， 作 前 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則 ， 有 ： ? ?111 ,nnkkE Y E X nnn ?????? ? ? ??????證 明 ： 由 于? ?11 nnkkD Y D Xn???? ????? ? ?2 11 n kkDXn?? ? 2221 n nn ??? ? ?2211 1n kknPXn??????? ? ? ? ??????由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ：11 1n kn klim P Xn ???? ???? ? ? ??????8 大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過(guò)做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì)，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法，參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。 ? ?5 . 3 , 0 , 1AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定理 貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，記 為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則 有：? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：9 167。 2 中心極限定理 背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每 個(gè)個(gè)別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往 往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說(shuō)它的極 限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù) 學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的 時(shí)期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 10 ? ?5 . 4 定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理? ?2110 , 1 .( , ) ,( ) ( ) ( ) .nniin Y NN n nb n a nP a X bnn?????????? ? ? ? ? ???nii ＝此 定 理 表 明 ， 當(dāng) 充 分 大 時(shí) ， 近 似 服 從即 ： X（ 近 似 ） ～從 而 ，1X ? ?nii=1思 考 題 ：X 的 近 似n分 布 是 什 么 ？2( , )Nn??答 案 ：? ? ? ?? ?212211 2, , , , , 1 , 2 ,1,2niiniinni txinnnXXE X D X iXnnYnXnx R lim P Y x lim P x e dtn??????????? ? ? ? ? ? ??? ? ????????? ? ? ? ? ????????????設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ，則 前 個(gè) 變 量 的 和 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 變 量 為 ：有 ： 證 明 略 。11 ? ?5 . 5 定理 德莫佛 拉普拉斯定理2 ,( 1 ) 2tbAn an npli m P a b e dtnp p ??? ? ??? ?? ? ?????? ?由 定 理1 0 iiAiA?? ??第 次 試 驗(yàn) 時(shí) 發(fā) 生證 明 ： 令 X第 次 試 驗(yàn) 時(shí) 未 發(fā) 生? ? ? ?? ?220 1 ,1, l im ,( 1 ) 2AtbAn an n A P A p pn npa b P a b e dtnp p ??? ? ?? ? ??? ?? ? ?????? ?設(shè) 為 次 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) ，則 對(duì) 任 何 區(qū) 間 ， 有 ：12, , , , ~ ( 1 , ) .nX X b pi則 X 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ,X12 ,Ann X X X? ? ? ?由 于( ) ~ ( , ( 1 ) ) .N n p n p p?A即 :n 近 似? ?()(1 )()(1 )AP a n bb npnp pa npnp p??????????12 例 2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時(shí)的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨(dú)立的 ,求這 16只元件的壽命的總和大于 1920小 時(shí)的概率。 1 2 1 61 6 , , , ,XX解 ： 記 只 電 器 元 件 的 壽 命 分 別 為 X16116 iiX?? ?則 只 電 器 元 件 的 壽 命 總 和 為 X,? ? ? ? 21 0 0 , 1 0 0iiE X D X??由 題 設(shè)? ?16116 1001600 0 , 14 100 400iiXX N????????根 據(jù) 獨(dú) 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理 : Y 近 似 服 從? ? ? ? 1 9 2 0 1 1 9 2 0P X P X? ? ? ?? ?1 9 2 0 1 6 0 01 400?? ? ?? ?1 0 . 8 0 . 2 1 1 9? ? ? ?13 例 3：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有 1萬(wàn)人參加，每人每年交 200 元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬(wàn)元。設(shè)老年人死亡 率為 ，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。 ? ?200PX??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 . 0 1 7b n p n p? ? ?解 ： 設(shè) X 為 一 年 中 投 保 老 人 的 死 亡 數(shù) ， 則 X由德莫佛 拉普拉斯中心極限定理，保險(xiǎn)公司虧本的概率為：? ?1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0PX ??? ?20221npn p p?????? ? ????? ?1 2 . 3 2 1 0 . 0 1? ? ? ?10思 考 題 ：求 保 險(xiǎn) 公 司 至 少盈 利 萬(wàn) 元 的 概 率 。答 案 ： 14 例 4：設(shè)某工廠有 400臺(tái)同類(lèi)機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是 ，各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī) 器出故障的臺(tái)數(shù)不小于 2的概率。 ? ?? ?400 12 1 ( 1 ) 17 93 8npqnpP X P Xnpq? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ?, 4 0 0 , 0 . 0 2 b?解 ： 設(shè) 機(jī) 器 出 故 障 的 臺(tái) 數(shù) 為 X 則 X ， 分 別 用 三 種 方 法 計(jì) 算 ：1 . 用二項(xiàng)分布計(jì)算? ? ? ? ? ? 4 0 0 3 9 92 1 0 1 1 0 . 9 8 4 0 0 0 . 0 2 0 . 9 8 0 . 9 9 7 2P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 . 用泊松分布近似計(jì)算? ? ? ? ? ?4 0 0 0 . 0 2 8 2 1 0 1 1 0 . 0 0 0 3 3 5 0 . 0 0 2 6 8 4 0 . 9 9 6 9npP X P X P X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?查 表 得3 . 用正態(tài)分布近似計(jì)算15 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 關(guān)鍵詞： 總 體 個(gè) 體 樣 本 統(tǒng) 計(jì) 量 2? ? 分布t?分布F ?分布16 引言： 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 是一門(mén)關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析 和推斷的科學(xué)。在概率論中已經(jīng)知道，由于大 量的 隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的 規(guī)律 性，因而從理論上講只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 足夠多次觀察，各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚 地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若規(guī)定燈泡壽命低于 1000小時(shí)者 為次 品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗(yàn)是 破壞性試驗(yàn)，不可能把整批燈泡逐一檢測(cè)，只 能抽取一部分燈泡作為樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，以樣本 的信 息來(lái)推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研 究的問(wèn)題之一。 17 167。 1 總體和樣本 總體： 研究對(duì)象的全體。如一批燈泡。 個(gè)體： 組成總體的每個(gè)元素。如某個(gè)燈泡。 抽樣： 從總體 X中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的取值過(guò)程。