高考數(shù)學(xué)解答題的解題策略(已修改)
2025-04-29 13:03 本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)解答題的解題策略 解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個(gè)檔次，低檔題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法與技能，中檔題還要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力，高檔題還要考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力及分析問題和解決問題的能力． 基礎(chǔ)訓(xùn)練 （1）已知，求函數(shù)的最小值．思路點(diǎn)撥：，而與有聯(lián)系，可設(shè)，則原來的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值問題． （2) x、y滿足條件，求y－3x的最大值與最小值．思路點(diǎn)撥：此題令b=y－3x，即y=3x+b，視b為直線y=3x+b的截距，而直線與橢圓必須有公共點(diǎn)，故相切，b有最值． （3)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍．思路點(diǎn)撥：此問題由于是常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個(gè)角度，以m為變量，使，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常函數(shù)）的值在[2，2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件． 典型例題 （一）以退為進(jìn)策略 由整體向局部退 某些問題，可以退到構(gòu)成這一整體內(nèi)容的部分上，用帶有整體特征的部分來處理問題，解題思路便會(huì)豁然開朗．例在銳角中，求證：．【解析】∵，∴，即，由于在上是單調(diào)遞減的．∴，同理可證：．上述三式相加，得：．【題后反思】 本題由整體退向局部，由一個(gè)角的三角函數(shù)或兩個(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系式入手，進(jìn)行研究，解出部分證明了整體．由巧法向通法退 巧法的思維起點(diǎn)高，技巧性也強(qiáng)，有匠心獨(dú)具、出人意料等特點(diǎn)，而巧法本身的思路難尋，方法不易把握，而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路，而順達(dá)流暢，通俗易懂的特點(diǎn)．例已知，求的取值范圍．【解析】由，得，∴，∴ ，從而得．【題后反思】 本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強(qiáng)的題目，求解時(shí)常常出錯(cuò)，尤其是題目的隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數(shù)學(xué)方法之一——消元法上來，則解法通俗、思路清晰．（二）合理轉(zhuǎn)化策略 轉(zhuǎn)化思想方法用于研究、解釋數(shù)學(xué)問題時(shí)思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化成另一種情況，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維模式，轉(zhuǎn)化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達(dá)到解決問題的有利境地，通向問題解決之策． 常量轉(zhuǎn)化為變量 有的問題需要常、變量相互轉(zhuǎn)化，使求解更容易．例設(shè)，求證：．【解析】令，則有，若，則成立；若，則，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，由韋達(dá)定理，即，又，∴，∴，∴．【題后反思】 把變量變?yōu)槌Ａ浚簿褪菑囊话愕教厥?，是我們尋找?guī)律時(shí)常用的解題方法，而本題反其道而行之，將常量變?yōu)樽兞?，從特殊到一般使問題得到解決．主元轉(zhuǎn)化為輔元有的問題按常規(guī)確定主元進(jìn)行處理往往受阻，陷于困境，這時(shí)可以將主元化為輔元，即可迎刃而解．例對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式恒成立的x的取值范圍．【解析】把轉(zhuǎn)化為，則成為關(guān)于p的一次不等式，則，得，由一次不等式的性質(zhì)有：，當(dāng)時(shí)，∴；當(dāng)時(shí)，∴，綜上可得：．【題后反思】 視x為主元，不等式是關(guān)于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉(zhuǎn)化為主元，不等式是關(guān)于p的一次的不等式，則問題不難解決．正向轉(zhuǎn)化為反向有些數(shù)學(xué)問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難則反”例若橢圓與連接A（1，2）、B（3，4）兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】設(shè)線
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