【正文】 高考熱點(diǎn)問(wèn)題與解題策略作者：日期：第三章 高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略數(shù)學(xué)高考堅(jiān)持以“兩個(gè)有利”（有利高校選拔新生、有利中學(xué)教學(xué)）為指導(dǎo)思想，嚴(yán)格遵循“考試說(shuō)明”的規(guī)定，內(nèi)容上不超綱，能力上不超規(guī)定層次（了解、理解和掌握、靈活和綜合運(yùn)用），在考查三基（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本技巧）和四種能力（邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析和解決問(wèn)題的能力）的同時(shí)，側(cè)重考查教材中的主要內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法和應(yīng)用意識(shí)，特別是突出考查數(shù)學(xué)學(xué)科的思維能力。％，考查的知識(shí)背景為冪、指、對(duì)及一般函數(shù)的概念、定義域、值域、反函數(shù)；函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；函數(shù)的圖像等。％，考查的知識(shí)背景是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)、以及有關(guān)公式的應(yīng)用，以常規(guī)題居多。解（證）％，考查的知識(shí)背景為不等式的性質(zhì)、定理；立幾、數(shù)列中的最值問(wèn)題以及解幾中的范圍問(wèn)題。數(shù)列、％，考查的知識(shí)背景為等差（比）數(shù)列的概念與計(jì)算公式；數(shù)列、極限的概念與求法。％，考查的知識(shí)背景為線面間的平行、垂直性質(zhì)與判定及有關(guān)概念。每年均為閱讀理解型試題。％，考查的知識(shí)背景為圓錐曲線的定義、性質(zhì)及解幾中的基本數(shù)學(xué)思想方法。1993年—1999年高考試題中，常用的數(shù)學(xué)方法幾乎每年考到，常用的數(shù)學(xué)思想方法考查的頻率明顯提高，探索性能力題年年考，對(duì)應(yīng)用性問(wèn)題的考查力度不斷加大，閱讀理解能力多題滲透。今年高考命題，選擇題繼續(xù)保持14個(gè)題題量，仍分為15題，每題4分，614題每題5分，但適當(dāng)降低最后23題的難度，控制語(yǔ)言的抽象水平。填空題保持19971999年水平，共4個(gè)題左右，每題4分，難度仍將為中等題，以計(jì)算題為主，且計(jì)算量仍不會(huì)加大。相比99年高考，2000高考將適當(dāng)降低試卷的難度，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)思維能力考查。進(jìn)一步注重通性通法的考查，繼續(xù)突出主體內(nèi)容（函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列和圓錐曲線等），淡化某些不宜升溫的知識(shí)（遞推數(shù)列、復(fù)數(shù)和立體幾何等），做好向新高中教材過(guò)渡的準(zhǔn)備。應(yīng)用題將適當(dāng)控制對(duì)建模能力難度的考查，減少普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的難度，既注意貼近生活，又注意靠近課本。探索性綜合題和信息遷移題不可能增加難度，如數(shù)列綜合題仍以歸納猜想為主要形式。一、應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)用問(wèn)題的“考試要求”是考查考生的應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法來(lái)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，這個(gè)要求分解為三個(gè)要點(diǎn)：要求考生關(guān)心國(guó)家大事，了解信息社會(huì)，講究聯(lián)系實(shí)際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，明確“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”，并積累處理實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)?？疾槔斫庹Z(yǔ)言的能力，要求考生能夠從普通語(yǔ)言中捕捉信息，將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流?？疾榻?shù)學(xué)模型的初步能力，并能運(yùn)用“考試說(shuō)明”所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)求解。對(duì)應(yīng)用題，考生的弱點(diǎn)主要表現(xiàn)在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力上。實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵是提高閱讀能力即數(shù)學(xué)審題能力，審出函數(shù)、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字?jǐn)⑹鏊磻?yīng)的實(shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)式符號(hào)語(yǔ)言，建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答?？梢哉f(shuō)，解答一個(gè)應(yīng)用題重點(diǎn)要過(guò)三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力。求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出主要關(guān)系；建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題；求解：化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證。在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。Ⅰ、再性性題組：，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩個(gè)），經(jīng)過(guò)3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成______。 A. 511個(gè) B. 512個(gè) C. 1023個(gè) D. 1024個(gè)，以墻為一邊，用籬笆圍成長(zhǎng)方形的場(chǎng)地，并用平行于一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長(zhǎng)為定值L，這塊場(chǎng)地的長(zhǎng)為_______時(shí)，場(chǎng)地面積最大，最大面積是_________。，那么圓柱體積的最大值是_______。 A. ()π B. ()π C. ()π D. 2()π，置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120176。，若要光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng)，則其高度應(yīng)為_______。() 、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，共有_______種承包方式。【簡(jiǎn)解】1小題：答案B；2小題：設(shè)長(zhǎng)x，面積S＝x≤()，答案：長(zhǎng)為，最大面積；3小題：V＝πr＝πr(－2r)≤π()，選A；4小題：由＝tg60176。得h＝10≈；5小題：CCC＝1680。Ⅱ、示范性題組：例1．某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)有增加22％，人均糧食產(chǎn)量比現(xiàn)在提高10％，如果人口年增長(zhǎng)率為1％，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？ （96年全國(guó)高考）（糧食單產(chǎn)＝ ； 人均糧食產(chǎn)量＝）分析：此題以關(guān)系國(guó)計(jì)民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數(shù)據(jù)，要求考生從兩條線索抽象數(shù)列模型,然后進(jìn)行比較與決策。【解】：?jiǎn)栴}涉及耕地面積、糧食單產(chǎn)、人均糧食占有量、總?cè)丝跀?shù)及三個(gè)百分率，其中人均糧食占有量P＝， 主要關(guān)系是：P≥P 。：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(1＋)，人口數(shù)為m(1＋)，耕地面積為（10－10x）?！?≥（1＋） 即 （10－10x）≥10（1＋）： x≤10－10（1＋）∵ （1＋）＝1＋C＋C＋C＋…≈ ∴ x≤10－≈4（公頃）：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國(guó)情，又驗(yàn)算無(wú)破，故可作答。（答略）【另解】：糧食總產(chǎn)量＝單產(chǎn)耕地面積； 糧食總占有量＝人均占有量總?cè)丝跀?shù)；而主要關(guān)系是： 糧食總產(chǎn)量≥糧食總占有量：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(1＋)，人口數(shù)為m(1＋)，耕地面積為（10－10x）?！?a(1＋)(1O－10x)≥(1＋)m(1＋)： x≤10－10（1＋）∵ （1＋）＝1＋C＋C＋C＋…≈∴ x≤10－≈4（公頃）：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國(guó)情，又驗(yàn)算無(wú)破，故可作答。（答略）【注】本題主要是抓住各量之間的關(guān)系，注重3個(gè)百分率。其中耕地面積為等差數(shù)列，總?cè)丝跀?shù)為等比數(shù)列模型，問(wèn)題用不等式模型求解。本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時(shí)所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對(duì)指數(shù)函數(shù)、不等式、增長(zhǎng)率、二項(xiàng)式定理應(yīng)用于近似計(jì)算等知識(shí)熟練。此種解法可以解決有關(guān)統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問(wèn)題。此種題型屬于不等式模型，也可以把它作為數(shù)列模型，相比之下，主要求解過(guò)程是建立不等式模型后解出不等式。在解答應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們強(qiáng)調(diào)“評(píng)價(jià)”這一步不可少！它是解題者的自我調(diào)節(jié)，≈1,算得結(jié)果為x≤98公頃，自然會(huì)問(wèn)：耕地減少這么多，符合國(guó)家保持耕地的政策嗎？于是進(jìn)行調(diào)控。例2．已知某市1990年底人口為100萬(wàn)，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長(zhǎng)率為2％，每年平均新建住房面積為10萬(wàn)m，試求到2000年底該市人均住房面積（）？（91年上海高考）【分析】城市每年人口數(shù)成等比數(shù)列，每年住房總面積成等比數(shù)列，分別寫出2000年后的人口數(shù)、住房總面積，從而計(jì)算人均住房面積。【解】：主要關(guān)系：人均住房面積＝：2000年底人均住房面積為：化簡(jiǎn)上式＝，∵ ＝1＋C＋C＋C＋…≈ ∴ 人均住房面積為≈：，驗(yàn)算正確?！咀ⅰ恳话愕兀婕暗嚼?、產(chǎn)量、降價(jià)、繁殖等與增長(zhǎng)率有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，可通過(guò)觀察、分析、歸納出數(shù)據(jù)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個(gè)基礎(chǔ)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解答。此種題型屬于應(yīng)用問(wèn)題中