高考數(shù)學解答題的解題策略-閱讀頁
2025-05-02 13:03本頁面
【正文】 立，則稱函數(shù)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界（提示：下圖①②中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零．）（Ⅰ）試判斷函數(shù)在上是否有下界？并說明理由；（Ⅱ）具有圖②所示特征的函數(shù)稱為在D上有上界，請你類比函數(shù)有下界 ① ②的定義，給出函數(shù)在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數(shù)在上是否有上界，并說明理由．【解析】∵，由，得，∵，∴x=2,∵當0x2時，∴函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)； 當x2時，∴函數(shù)在（2，）上是增函數(shù)；∴x=2是函數(shù)在區(qū)間（0，）上的最小值點，于是，對任意，都有，即在區(qū)間（0，）是存在常數(shù)A=32，使得對任意，都有成立，所以，函數(shù)在上有下界．（Ⅱ）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常B，都有成立，則稱函數(shù)在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界．設x0，則x0，則（Ⅰ）知，對任意，都有，∴，∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，∴，即，即存在常數(shù)B=32，對任意，都有，所以，函數(shù)在上有上界．【題后反思】本題以高等數(shù)學中的函數(shù)有界性為命題素材，先給出一個定義，研究問題的結(jié)論，然后提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題．數(shù)學中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識點，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構(gòu)”現(xiàn)象，立體幾何中的很多結(jié)論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進行遷移，我們復習時要注意研究知識間的縱橫聯(lián)系，把握知識間的內(nèi)在規(guī)律，通過知識間的對比和類比，可以更好地掌握知識，提高解題能力．五、限時課后練習（1）已知元素為實數(shù)的集合S滿足下列條件：①；②若，則．若非空集合S為有限集，則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測？并請證明你的猜測．（2）已知橢圓的右準線與x軸相交于點P，右焦點F到上頂點的距離為，點C(m,0)是線段OF上的一個動點， （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線，其與橢圓交于A、B兩點，且使得？親說明理由．（3）設函數(shù)，函數(shù)，其中a為常數(shù)且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的表達式，并求其定義域； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的值域； （Ⅲ）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合，若不存在，試說明理由．（4）已知函數(shù)，當點在的圖像上移動時，點在孫函數(shù)的圖像上移動． （Ⅰ）若點P坐標為（1，1），點Q也在的圖像上，求t的值； （Ⅱ）求函數(shù)的解析式； （Ⅲ）當時，試探索一個函數(shù)，使得在限定域內(nèi)為時有最小值而沒有最大值．（5）矩形鋼板的邊長分別為，現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐，并使其底面邊長為矩形邊長的一半，表面積為ab，試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個體積最大，哪一個體積最小，并說明你的結(jié)論．答案：（1）S的元素的個數(shù)為3的倍數(shù)；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，即存在這樣的直線；當時，k不存在，即不存在這樣的直線．（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），且．（4）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）當時，有最小值0，但沒有最大值．（5）如下圖：圖1圖2圖3圖4 易證：，即最大，最?。? 。
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