指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單元復(fù)習(xí)與鞏固(已修改)
2025-04-29 01:30 本頁(yè)面
【正文】 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單元復(fù)習(xí)與鞏固 撰稿：劉楊 審稿：嚴(yán)春梅 責(zé)編：丁會(huì)敏一、知識(shí)框圖 二、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo) (1)通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景； (2)理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算. (3)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函 數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； (4)在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型?！ ?1)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱 讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用； (2)通過(guò)具體實(shí)例，直觀(guān)了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函 數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； 知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a＞0，a≠1). (1)了解冪函數(shù)的概念； (2)結(jié)合函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況.重點(diǎn) 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理.難點(diǎn) 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì).三、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：指數(shù)及指數(shù)冪的運(yùn)算 的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，表示為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)可以表示為. 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù).： (1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， (2)： ?。弧 ∽⒁猓?的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等與0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.： (1) (2) (3)知識(shí)點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?：函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象 定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 (1)若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)， 叫做真數(shù). (2)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù). (3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：. ，. 常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即(其中…). 如果，那么 ?、偌臃ǎ骸 、跍p法： ③數(shù)乘： ?、堋 、荨 、迵Q底公式：知識(shí)點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.：函數(shù)名稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.知識(shí)點(diǎn)五：反函數(shù) 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，從式子中解出，通過(guò)式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫(xiě)成. (1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng). (2)函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域. (3)若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上. (4)一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù). (1)確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域； (2)從原函數(shù)式中反解出； (3)將改寫(xiě)成，并注明反函數(shù)的定義域.知識(shí)點(diǎn)六：冪函數(shù) 形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù). (1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限 ，圖象分布在第一、二象限(圖象 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng))；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖 象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象 限. (2)過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過(guò) 點(diǎn). (3)單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在 ，則冪函數(shù)的圖象在 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近軸與軸. (4)奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，(其中 互質(zhì)，和)，若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則 是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù). (5)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線(xiàn)下方，若 ，其圖象在直線(xiàn)上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線(xiàn)上方，若 ，其圖象在直線(xiàn)下方.四、規(guī)律方法指導(dǎo)思維總結(jié) 1．（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同底； 2．要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)； 3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)； 4．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)是解決含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的問(wèn)題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識(shí)，要達(dá)到滾瓜爛熟，運(yùn)用自如的水平，在使用時(shí)常常還要結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的討論問(wèn)題是重點(diǎn)題型，解決這類(lèi)問(wèn)題的最基本的分類(lèi)方案是以“底”大于1或小于1分類(lèi)； 6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類(lèi)綜合問(wèn)題等等，因此要努力提高綜合能力.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單元復(fù)
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