平面向量經(jīng)典教學(xué)案(已修改)
2025-04-29 01:00 本頁(yè)面
【正文】 . .. . ..平面向量 一、知識(shí)溫故：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.：①用有向線段表示；②用字母、等表示；③平面向量的坐標(biāo)表示：分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底。任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使得，叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，。；若，則，、單位向量：①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為； ②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.（注：就是單位向量）：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②、平行，記作∥∥.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.、減法：①求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即： = + ()；差向量的意義： = , =, 則= ③平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則。④向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)7．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0時(shí)λ與方向相同；λ0時(shí)λ與方向相反；λ=0時(shí)λ=；（3）運(yùn)算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ8． 向量共線定理 向量與非零向量共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ。9．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一. λ1，λ2是被，唯一確定的數(shù)量。10. 向量和的數(shù)量積：①=| |||cos，其中∈[0，π]為和的夾角。②||cos稱為在的方向上的投影。③的幾何意義是：的長(zhǎng)度||在的方向上的投影的乘積，是一個(gè)實(shí)數(shù)（可正、可負(fù)、也可是零），而不是向量。④若 =（，）, =（x2，）, 則⑤運(yùn)算律：a b=ba, (λa) b=a(λb)=λ（ab）， （a+b）c=ac+bc。⑥和的夾角公式：cos=＝⑦||2=x2+y2，或||=⑧| ab |≤| a || b |。11．兩向量平行、垂直的充要條件 設(shè) =（，）, =（，）①a⊥bab=0 ，=+=0；②（≠）充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ。 向量的平行與垂直的坐標(biāo)運(yùn)算注意區(qū)別，在解題時(shí)容易混淆。： ，P內(nèi)分線段時(shí), 。 P外分線段時(shí), . 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形重心公式： 、 二、經(jīng)典范例考點(diǎn)一：向量的概念、向量的基本定理【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)
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