九年級數(shù)學(xué)上冊知識點歸納(已修改)
2025-04-16 03:03 本頁面
【正文】 一元二次方程 知識點一 一元二次方程的定義 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下幾點： ① 只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。 知識點二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax178。+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax178。是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。 知識點三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。 降次——解一元二次方程 知識點一 直接開平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x178。=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=. （2） 直接開平方法適用于解形如x178。=p或(mx+a)178。=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。 （3） 用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。 （4） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知識點二 配方法解一元二次方程 通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。 配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。 （1） 把常數(shù)項移到等號的右邊； ⑵方程兩邊都除以二次項系數(shù)； ⑶ 方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式； ⑷ 若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。 知識點一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，對于一元二次方程ax178。+bx+c=0(a≠0)，如果b178。4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax178。+bx+c=0(a≠0)的過程。 （3） 公式法解一元二次方程的具體步驟： ① 方程化為一般形式：ax178。+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值 ②確定公式中a,b,c的值，注意符號； ③求出b178。4ac的值； ④若b178。4ac≥0，則把a,b,c和b4ac的值代入公式即可求解，若b178。4ac＜0，則方程無實數(shù)根。 知識點二 一元二次方程根的判別式 式子b178。4ac叫做方程ax178。+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b178。4ac. △＞0，方程ax178。+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根 一元二次方程 △=0，方程ax178。+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根 根的判別式 △＜0，方程ax178。+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根 ．3 因式分解法 知識點一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的詳細步驟： ① 移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0； ② 把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一個因式分別為零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知識點二 用合適的方法解一元一次方程 方法名稱 理論依據(jù) 適用范圍 直接開平方法 平方根的意義 形如x178。=p或（mx+n）178。=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 當ab=0，則a=0或b=0 一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。 若一元二次方程x178。+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=p,x1x2=q. 若一元二次方程ax178。+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1,x2,則有x1+x2=b/a，,x1x2=c/a 實際問題與一元二次方程 知識點一 列一元二次方程解應(yīng)用題
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