【正文】 第 一 章 靜 電 場 第一章 靜電場 Steady Electric Field 基本方程、分界面上的銜接條件 邊值問題、唯一性問題 分離變量法 有限差分法 鏡像法和電軸法 電容和部分電容 靜電能量與力 靜電場的應(yīng)用 環(huán)路定律、高斯定律 電場強度和電位 序 下 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 序 靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應(yīng)用推廣到恒定電場 ,恒定磁場及時變場。 本章要求 深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場 、電位、 電容、能量、力的各種計算方法。 Introduction 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 靜電參數(shù) (電容及部分電容 ) 靜電能量與力 有限差分法 鏡像法 ,電軸法 分離變量法 直接積分法 數(shù)值法 解析法 邊值問題 邊界 條件 電位 ? 基本方程 D 的散度 基本物理量 E、 D 基本實驗定律（庫侖定律） 靜電場知識結(jié)構(gòu) E 的旋度 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 庫侖定律 (Coulomb’s Low) Electric Field Intensity and Electric Potential 21202121 π4 Rqq eF ???N (牛頓 ) 1221 FF ??適用條件： 庫侖定律 電場強度 和 電位 圖 兩點電荷間的作用力 點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？ 思考 兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力 。 真空中的介電常數(shù) 120 108 . 8 5 ???εF/m 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 電場強度 ( Electric Intensity ) tq qzyxzyxt),(),( l i m0FE??V/m ( N/C ) 定義：電場強度 E 等于單位正電荷所受的電場力 F （ a） 單個點電荷產(chǎn)生的電場強度 Rtp RqqR eFE20π4)( ??? V/m 39。39。39。π4)( 20 rrrrrrrE ??????qp)39。(39。π4 30rrrr????q圖 點電荷的電場 一般表達(dá)式為 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 （ b) n個點電荷產(chǎn)生的電場強度 ( 矢量疊加原理 ) （ c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度 RRq eE20π4dd??kNk kkRq erE ???120π41)(?圖 體電荷的電場 圖 矢量疊加原理 元電荷產(chǎn)生的電場 ?? ????? Nk kkkq130)(π41rrrr?Sd? ld?Vq dd ?? ， ， 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 RS RS eE ????20dπ41 ??Rl Rl eE ????20d π41 ??線電荷分布 lq dd ??體電荷分布 Vq dd ??Sq dd ??面電荷分布 RV RV eE ????20dπ41 ??下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 )(π4d),(d22 ?????? zzzoEEzz dd22z ????EEdzd22 ?????E解 : 軸對稱場，圓柱坐標(biāo)系。 例 真空中有一長為 L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為 ,試求 P 點的電場。 ??c o sdd z E??E?? s indd E?E下 頁 上 頁 返 回 圖 帶電長直導(dǎo)線的電場 z 第 一 章 靜 電 場 zzzE LLoz d)(π4 21 2322?? ??????zzE LLod)(π4 21 2322?? ?? ?????,21 時當(dāng) ???? LLLzzEEz eeE ?? ???? ),( ???? e0π2?無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場 ???? eΕ0π2?平行平面場。 )(π4 22112222?????????LLLLo)11(π4 221222 ????????LLo0 下 頁 上 頁 返 回 當(dāng) L?時 zzEEz eeE ?? ???? ),(204 πL????? e0 點電荷 zzEEz eeE ?? ???? ),(第 一 章 靜 電 場 靜電場的環(huán)路定律 電場力作功與路徑無關(guān) ,靜電場是保守場，是無旋場。 由 Stokes’定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量 ?? ????? sl SElE d)(d 0?說明 ? ??l 0d lE即 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 1 電位 將單位正電荷從某一點移至零電位參考點時，電場力所做的功，稱為該點的電位。 下 頁 上 頁 返 回 dd ppp? ??? ? ???E l E l 電位函數(shù) ? ( Electric Potential ) 2 電位差 將單位正電荷從 A點移至 B點時，電場力所做的功，稱為這兩點之間的電位差。 Ud BAB A B A????? ? El標(biāo)量電位函數(shù) 第 一 章 靜 電 場 負(fù)號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標(biāo)系中： 3. E 與 的微分關(guān)系 ?,0??? E 矢量恒等式 0???? ?由 ][ zyx ezeyex ?????????? ???E根據(jù) E與 的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點 ? ( ) ( ) 00 ??? E? ? 00 ??? ?E ? 下 頁 上 頁 返 回 ????E所以 第 一 章 靜 電 場 電場強度 E的求解方法 已知電位 ?，求 E 已知電場力，求解 E 已知電荷分布，求 E tq qzyxzyxt),(),( l i m0FE??V/m ( N/C ) ?? ? ?E第 一 章 靜 電 場 例 1：已知電位，求電場強度。 如圖所示平行板電容器，兩極板相距 d，極板間電位分布 ，求電容器中的電場強度。 第 一 章 靜 電 場 例 2：已知電荷 q求電位 ? 39。1π439。39。π4)( 030 rrrrrrrE????????qq ＝－CqNi ii ??? ?? 10 39。π41)(rrr ??點電荷群 CdqV??? ?39。0 39。π41)(rrr ??連續(xù)分布電荷 以 點電荷 為例 )(39。π40rrr ?? ??????? qCq ??? 39。π4)(0 rrr ??lSVq ???? d ,d ,d d ???式中 相應(yīng)的積分原域 。39。39。39。 , lSV下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 4. 與 E 的積分關(guān)系 ?圖 E 與 的積分關(guān)系 ?線積分 ?? ????? 00 dd PPPP llE ?式中 )ddd()(d zyxzyx zyxzyx eeeeeel ?????????????? ???????? dddd ?????????? zzyyxx設(shè) P0為電位參考點，即 ， 則 P點電位為 00 ?P?0 dPPP? ??? El? ? ?????0 0 0ddPP PP PP ???lE所以 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 5. 電位參考點 例如 ：點電荷產(chǎn)生的電位： Crq ??0π4 ??00 ??r? ??C0???r? rq0π4 ?? ?0?C點電荷所在處不能作為參考點 0?? Rr?Rqrq00 π4π4 ??? ??RqC0π4 ???場中任意兩點之間的電位差與參考點無關(guān)。 選擇參考點盡可能使電位表達(dá)式比較簡單。 電位參考點可任意選擇，但 同一問題，一般只能選取一個參考點。 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點。 電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點， 為什么？ 見參考書 《 電磁學(xué)專題研究 》 P591~P597 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 電力線與等位線（面） 0d ?? lEE 線微分方程 zEyExE zyxddd??直角坐標(biāo)系 當(dāng)取不同的 C 值時，可得到不同的等位線 ( 面 )。 Czyx ?),(?等位線 (面 )方程 曲線上任一點的切線方向是該點電場強度 E 的方向。 電位相等的點連成的曲面稱為等位面。 電力線方程 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 解： 在球坐標(biāo)系中 21120210 π4)11(π4 rr rrqrrqp ???? ???21221 )c o s4( ?drdrr ???2020 π4π4c o srrqd rp ???? ep ???所以 用二項式展開，又有 rd，得 ?c os22 drr ???c o s21 drr ??例 畫出電偶極子的等位線和電力線 ( rd ) 。 21222 )c o s4( ?drdrr ???圖 電偶極子 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 30( 2 c o s si n )4 πpr p r ?? ? ??? ? ? ? ?E e e??ErErrdd ?電力線方程 ( 球坐標(biāo)系 ) ： ?2s inDr ?等位線方程 ( 球坐標(biāo)系 ) ： ?c o sCr ?將 和 代入 E 線方程 ?E rE 表示電偶極矩 （ dipole moment)， 方向由 dp q＝q 指向 +q。 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 圖 電偶極子的等位線和電力線 第 一 章 靜 電 場 電力線與等位線（面）的性質(zhì)： 圖 點電荷與接地導(dǎo)體的電場 圖 點電荷與不接地導(dǎo) 體的電場 E 線不能相交； ?等 線不能相交； E 線起始于正電荷，終 止于負(fù)電荷 。 E 線愈密處，場強愈大 。 E 線與等位線（面）正交。 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 圖 介質(zhì)球在均勻電場中 圖 導(dǎo)體球在均勻電場中 圖 點電荷位于無限大介質(zhì)上方 圖 點電荷位于無限大導(dǎo)板上方 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 真空中的高斯定律 (Gauss’s Theorem in Vacuum) 高斯定律 Gauss’s Theorem 下 頁 上 頁 返 回 在無限大的真空靜電場中的任意閉合曲面 S上，電場強度 E的面積分的等于曲面內(nèi)的總電荷 q的 1/ε0倍(V是 S的限定的體積 )，而與曲面外的電荷無關(guān)。 001ddSVq V???? ? ???ES 說明 靜電場是有源場 ，電荷是電場的通量源。 第 一 章 靜 電 場 1. E 的通量 ?? ??? VV VV d1d0??E ?????