電磁場與電磁波第5章ok(已修改)
2025-05-12 01:32 本頁面
【正文】 第 5章 靜態(tài)場的解 靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。 最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計算中常用有限差分法。 1. 靜電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程 4. 鏡像法 、分離變量法 、格林函數(shù)法 、 有限差分法 重點 ： 3. 求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論： 對偶原理、疊加原理、唯一性定理 2. 靜態(tài)場的位函數(shù)方程 泊松方程和拉普拉斯方程 靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組 對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時間而變化，即與時間 t無關(guān)。因此 ，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為： 00DEBHJ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?00svlslsD d s dvE d lB d sH d l J d s???????? ? ???????電流連續(xù)性方程為： 00J d ssJ ??? ? ? ?由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。 靜電場的基本方程 靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為 0DE?? ? ?? ? ? 0svlD d s d v qE d l?? ? ??????上式表明：靜電場中的旋度為 0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。 另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為 E ?? ??靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描述，即 DE?? 恒定電場的基本方程 載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，即為恒定電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。 若一閉合路徑經(jīng)過電源，則： El E d l ????0s J d s???即電場強(qiáng)度 的線積分等于電源的電動勢 EE?若閉合路徑不經(jīng)過電源，則： 0l E d l???這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為 00EJ? ? ? ? ? ?JE??從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個位場，也可用一個標(biāo)量函數(shù)來描述。 另外： 導(dǎo)體中的物態(tài)方程為 恒定磁場的基本方程 0slsB dsH dl J ds??? ? ????這是恒定磁場的基本方程。 BH??從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，電流線是閉合的。 另外： 磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為 恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為 I，電流密度為 ,則有 J0BHJ? ? ?? ? ? 靜電場既然是一個位場，就可以用一個標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它 : ?E ?? ?? 泊松方程和拉普拉斯方程 靜電場的位函數(shù)分布 即 式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。 ?0??? 所以有 對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)， ε為常數(shù) , ()D E E? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()? ? ?? ? ?? ?即 靜電場 的位函數(shù) 滿足的方程。 ?2 ?? ?? ? ?上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有 “ 源 ” 的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為 泊松方程。 如果場中某處有 ρ=0 ，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)? 2 0???我們將這種形式的方程稱為 拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù) 應(yīng)滿足的方程。 ?拉普拉斯算符 在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式： 2?在直角坐標(biāo)系中 22222 2 2x y z???? ???? ? ? ?? ? ?在圓柱坐標(biāo)系中 222 11() 2 2 2rr r rrz? ? ???? ? ??? ? ? ??? ??在球坐標(biāo)系中 2222 1 1 1( ) ( sin )2 2 2 2sin sinRRRR R R? ? ?????? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? 恒定電場的位函數(shù)分布 根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有 0J? ? ? JE???2( ) ( ) 0JE ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則有 2 0?? ＝在無源區(qū)域， 恒定電場是一個位場，即有 0E? ? ?這時同樣可以引入一個標(biāo)量位函數(shù) 使得 ? E ?? ??這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。 恒定磁場的位函數(shù)分布 2()A A A J?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?人為規(guī)定 0A? ? ? (1) 磁場的矢量位函數(shù) 這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范 2 AJ?? ? ?于是有 此式即為矢量磁位的泊松方程。 A恒定磁場是有旋場，即 ,但它卻是無散場， 即 引入一個矢量磁位 后，由于 ，可得 BJ?? ? ?0B? ? ?BA??＝2 0A??此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。 在沒有電流的區(qū)域 , 所以有 0J ?在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)? 00BH? ? ? ? ? ? (2) 磁場的標(biāo)量位函數(shù) m?這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以
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