【正文】 高等代數(shù) (Higher Algebra) 張禾瑞 郝鈵新 高教出版社（第五版） 課件制作 深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院：王曉峰 基本概念 多項(xiàng)式 行列式 線性方程組 矩陣 線性空間 線性變換 歐幾里得空間 二次型 Ch. 1 一般性介紹 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，解析幾何 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) : 數(shù)理邏輯 公理集合論 , 證明論 , 模型論 , 遞歸論 數(shù)學(xué)分析 實(shí)變函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)論，多復(fù)變 函數(shù)論，測度論，泛函分析，變分 法，函數(shù)逼近論，非標(biāo)準(zhǔn)分析，小 波分析，分形幾何，常微分方程， 偏微分方程， 積分方程， 動(dòng)力系 統(tǒng) , 特殊函數(shù)，數(shù)值分析 , 計(jì)算方 法 , ….. 高等代數(shù) 數(shù)論 , 近世代數(shù)，線性代數(shù) , 群論 , 域 論與伽羅瓦理論 , 環(huán)與代數(shù) , 模論 , 范 疇論代數(shù) K理論 , 同調(diào)代數(shù) , 李代數(shù) , 序 與格 , 離散數(shù)學(xué) , 計(jì)算機(jī)科學(xué) , 矩陣論 , 密碼學(xué) , …… 解析幾何 高等幾何 , 代數(shù)幾何 , 微分幾何 , 凸 集幾何與距離幾何 , 一般拓?fù)鋵W(xué) , 代 數(shù)拓?fù)鋵W(xué) , 流形拓?fù)鋵W(xué) , 分形幾何 , 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì) , 計(jì)算機(jī)圖形 學(xué) , …… 概率論 數(shù)理統(tǒng)計(jì) , 隨機(jī)過程 , 統(tǒng)計(jì)學(xué) , 經(jīng)濟(jì) 數(shù)學(xué) , …… 其它 生物數(shù)學(xué) , 模糊數(shù)學(xué) , 運(yùn)籌學(xué) , 控制 理論 , 通信與信息理論 , 優(yōu)化理論 , 計(jì)算數(shù)學(xué) , .…. 計(jì)算機(jī)有關(guān)的課程 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) , 計(jì)算機(jī)原理 , C++語言 , Java語言 , 離散數(shù)學(xué) , 數(shù)據(jù)庫原理 , 操作系統(tǒng) , 程序設(shè)計(jì)方法，計(jì)算機(jī) 網(wǎng)絡(luò)，信息系統(tǒng) , 匯編語言 , 邏輯 電路 , 軟件工程 , 最新軟件分析 , 通 信與信息理論 , 算法分析 , .…. 高等代數(shù) — 目的及要求 1. 為什么要學(xué)高等代數(shù)？ 3. 作業(yè)要求： (1) 書面作業(yè)： A4大小的活頁紙； (2) 上網(wǎng)作業(yè)：可自己檢查 , 幫助理解； (3) 平時(shí)測驗(yàn) : 4. 如何評(píng)定成績？ ： 《 線性代數(shù)及應(yīng)用 》 –王曉峰主編 《 高等代數(shù) 》 (北大 ) – 高教出版社 2. 要學(xué)那些內(nèi)容？ 167。 集合 Ch. 1 基本概念 167。 映射 167。 數(shù)學(xué)歸納法 167。 數(shù)論初步 167。 整數(shù)和整環(huán) 167。 集合 Ch. 1 基本概念 ? 集合的概念 集合的表示 ? 元素的概念 ? 常用記號(hào) 常用集合 ? 有限集合 無限集合 ? 子集 交集 并集 空集 補(bǔ)集 差集 ? 笛卡爾集 ? 集合的運(yùn)算 167。 映射 定義 1 設(shè) A和 B是兩個(gè)非空集合 , 從 A到 B的一個(gè)映射是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 A中每一個(gè)元素 x, 都有 A中一個(gè)確定的元素 y與之對(duì)應(yīng) , 并記為 : f (x)= y 或 f : x ? y 并稱 y為 x在映射 f下的 象 , 而 x為 y在映射 f下的一個(gè) 原象 . 例 1 取整數(shù)集合 Z, 定義 Z 到 Z 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 Z 中每一個(gè)元素 n, 對(duì)應(yīng) 2n, 即 : f (n)= 2n 或 f : n ? 2n 驗(yàn)證 f 是一個(gè) Z 到 Z 的映射 . 例 2 取全體實(shí)數(shù)集合 R和全體非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 B, 定義 R到 B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 R中每一個(gè)元素 x, 對(duì)應(yīng) x2, 即 : f (x)= x2 驗(yàn)證 f 是一個(gè) Z 到 Z 的映射 . 例 3 取自然數(shù)集合 N和集合 B={奇 , 偶 }, 定義 N 到 B 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 N 中每一個(gè)元素 n, 如果存在整數(shù) k,使得 n=2k+1, 則令 f (n)= 奇 , 否則 f (n)= 偶 . 驗(yàn)證 f 是一個(gè) N 到 B 的映射 . 例 4 取全體非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 A, 定義 A到全體實(shí)數(shù)集合 R的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 A中每一個(gè)元素 x, 對(duì)應(yīng) y, 滿足 : y2=x. 問： f 是一個(gè) A 到 R 的映射嗎？ 例 5 取自然數(shù)集合 N, 定義 N 到 N 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 N 中每一個(gè)元素 n, 對(duì)應(yīng)于n?1. 問 ： f 是一個(gè) N 到 N 的映射嗎？ 例 6 取任意非空集合 A, 定義 A到 A的 一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 A中每一個(gè)元素 x, 對(duì)應(yīng) x自己 , 即 : f (x)= x 顯然： f 是一個(gè) A 到 A 的映射 —恒等映射 . 注意 :如果 f 是從 A到 B的一個(gè)映射 ? 則 A中任一元在 B中有且僅有唯一的元素 與之對(duì)應(yīng) 。 ? 有可能存在 B中的元素不是 A中任一元素 的像； ? A中不相同的元素在 B中有可能有相同的 像 . ? 如果 g 也是從 A到 B的一個(gè)映射 , 并且對(duì)任 意的 x?A, 都有 f(x)=g(x), 則稱 f = g. 定義 2 設(shè) f 是一個(gè)從 A到 B映射 . 如果對(duì)任意的 b?B, 都存在一個(gè) a ?A , 使得 f (a)= b 則稱 f 是一個(gè)從 A到 B的 滿射 . 定義 4 既是滿射又是單射的映射稱為 雙射 . 定義 3 設(shè) f 是一個(gè)從 A到 B映射 . 對(duì)任意的 a1, a2?A , 如果 a1?a2, 就一定有 f (a1) ? f (a2) 則稱 f 是一個(gè)從 A到 B的 單射 . 映射的 合成運(yùn)算 : 合成運(yùn)算滿足 結(jié)合律 : 合成函數(shù)的 例子 ： 定理 設(shè) f 是一個(gè)從 A到 B映射 . 那么以下條件等價(jià)： (i) f 是一個(gè)雙射； (ii) 存在 B到 A映射 g, 使得 g?f=jA , f?g=jB 并且，當(dāng) (ii)成立時(shí)，映射 g 由 f 唯一確定 . 定義 : 上述定理中 由 f 唯一確定 的 映射 g稱為 f 的逆映射，記為 f ?1. 并且 f ?1?f=jA , f? f ?1=jB 例 10 設(shè) A是所有非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 . 而集合 B={x?R | 0?x?1}. 定義 A 到 B 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f 如下： 驗(yàn)證 : (i) f 是一個(gè) A 到 B 的雙射； (ii) 求 f ?1. 1:?xxxf ?代數(shù)運(yùn)算： 設(shè) A 是一個(gè)集合 . 稱一個(gè)從 A?A到 A映射為A上的一個(gè) 代數(shù)運(yùn)算 . 167。 數(shù)學(xué)歸納法 最小數(shù)原理 正整數(shù)集合 N*的任意非空子集必有一個(gè)最小數(shù) . 數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題 P(n). 如果 (i) P(1)為真 (即 :當(dāng) n=1時(shí)命題成立 )。 (ii) 假設(shè) P(k)為真能推出 P(k+1)也為真； 那么對(duì)所有的正整數(shù) n，命題 P(n)為真 . 例 證明 , 所有的整數(shù) n?3時(shí)滿足 2n+12n 第二數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題 P(n). 如果 (i) P(1)為真 。 (ii) 假設(shè)對(duì)任意正整數(shù) hk, P(h)為真能推 出 P(k)也為真； 那么對(duì)所有的正整數(shù) n，命題 P(n)為真 . 例 證明 , 所有的大于 1的正整數(shù) n均能分解 成素?cái)?shù)之積 . 167。 數(shù)論初步 帶余除法 : 設(shè) a, b是整數(shù)， b?0. 則 a可唯一地表為 a=bq+r 其中 q, r為整數(shù)并且 0?r|b|. 若干基本概念 ： 整除、素?cái)?shù)、合數(shù)、因數(shù)、公因數(shù) 、 倍數(shù)、公倍數(shù)、 互素 若干基本概念 整除、因數(shù)、倍數(shù) : 設(shè) a, b是整數(shù) . 如存在整 數(shù) q使 a=bq, 則 稱 b整除 a, 記為 b|a。 并稱 b 是 a的 因數(shù) ， a是 b的 倍數(shù) . 素?cái)?shù)、合數(shù) : 大于 1的正整數(shù)除 1和自己外沒 有其它因數(shù)稱為 素?cái)?shù) ，否則稱為 合數(shù) . 公因數(shù)、公倍數(shù) : 互素 : 如果 1是兩個(gè)整數(shù) a, b僅有的大于零的 公因數(shù)，則稱整數(shù) a與 b互素 . 最大公因數(shù) (greatest mon divisor) gcd. 最小公倍數(shù) (least mon mutiple) lcm. 性質(zhì)： 設(shè) a, b均為整數(shù) . 1) 如果 a|b 并且 b|a, 則有 a=?b。 2) 如果 a|b, 則對(duì)任意的整數(shù) c, 有 a|bc。 3) 如果 a|b 并且 a|c, 則有 a|(b+c)。 4) 如果 a|b 并且 b|c, 則有 a|c. 記 (a, b)為兩個(gè)不全為零的整數(shù) a和 b的大于零的最大公因數(shù) . 引理 如果 r 是一正整數(shù)，那么 gcd(r, 0)=r. 定理 若 a=bq+r， 則 gcd(a, b)=gcd(b, r) Euclidean Algorithm 1. 設(shè)整數(shù) a 和 b 滿足： |a||b|?0. 2. 如果 b=0, 那么 gcd(a, b)=a. 如果 b?0, 由 帶余除法存在 q 和 r 使得 a=bq+r |b|r?0 3. 如果 r=0, 那么 gcd(a, b)=b. 如果 r=0, 重復(fù)上述過程并且有 gcd(a, b)=gcd(b, r), |a||b|r?0. 但是 0 到 |a|間僅有有限多整數(shù) . 所以存在 i 使得 : |a||b|r=r1r2…r i=0, 并且 gcd(a, b)=gcd(b, r1)=…=gcd( ri?2, ri?1) = ri?1 定理 若 d=(a, b)，則存在整數(shù) p, q使得 pa+qb=d 例 求 (726, 393), 并求整數(shù) p和 q使得 (726, 393)=726p+393q 定理的推論 整數(shù) a, b互素當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù) p, q使得 pa+qb=1 定理 若 a|bc, 并且 (a, b)=1， 那么 a|c. 167。 數(shù)環(huán)和數(shù)域 定義 1 設(shè) S是一個(gè)全體復(fù)數(shù)集合 C的一個(gè)非空子集 . 如果對(duì)于任意的 a, b?C, 都有 a+b, a?b, ab?C 則稱 C為一個(gè)數(shù)環(huán) . 數(shù)環(huán)的例子 ： 定義 2 設(shè) F是一個(gè)數(shù)環(huán) . 如果 (i) F含有至少一個(gè)非零元； (ii) 對(duì)于 F中任意的非零元 a, 均存在 b?F, 使得 ab =1. 則稱 F為一個(gè)數(shù)域 . 數(shù)域的例子 ： 定理 任何數(shù)域均包含了有理數(shù)域 . Exercises : 3. 4. 6.(i),(iii)。 : 3. 7. 8. 10。 : 1. 2。 : 2. 4. 5. Ch. 2多項(xiàng)式 (Polynomial) 167。 一元多項(xiàng)式 (unary polynomial) 167。 帶余除法 整除 (Division with remainder) 167。 最大公因式 (greatest mon factor: gcd) 167。 不可約 (irreducible) 多項(xiàng)式 ? 唯一因式分解定理 167。 重因式 167。 多項(xiàng)式函數(shù) 167。 代數(shù)基本定理 ?復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 167。 有理系數(shù)多項(xiàng)式 167。 多元多項(xiàng)式 167。 對(duì)稱多項(xiàng)式