【正文】 多項(xiàng)式 第一章 多項(xiàng)式 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 167。 1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)長(zhǎng)期 的發(fā)展過(guò)程，由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)。 數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都和數(shù)的范圍有關(guān)，數(shù)的范圍不同，對(duì)同一 問(wèn)題的回答可能也不相同。例如 2x2? 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有根，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對(duì)共軛復(fù)根。 2x 1 0?? 在有理數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解，但在實(shí)域 內(nèi)就可以分解。 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 我們通?？紤]的數(shù)的范圍主要包括全體實(shí)數(shù)、全體有理數(shù)以 及全體復(fù)數(shù)等，它們具有一些不同的性質(zhì)，但也有很多共同 的性質(zhì)，在代數(shù)中經(jīng)常將具有共同性質(zhì)的對(duì)象統(tǒng)一進(jìn)行討論。 一個(gè)數(shù)集中，數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算稱為數(shù)的 代數(shù)運(yùn)算 。 若數(shù)集 P中任何兩個(gè)數(shù)做某一運(yùn)算后的結(jié)果仍然在這個(gè)數(shù)集 P中，則稱該數(shù)集 P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是 封閉的 。 a) 自然數(shù)集 N對(duì)加、乘運(yùn)算封閉，對(duì)減、除不封閉。 b) 整數(shù)集 Z對(duì)加、減、乘運(yùn)算封閉，對(duì)除不封閉。 c) 有理數(shù)集 Q、實(shí)數(shù)集 R、復(fù)數(shù)集 C對(duì)加、減、乘、除 (除數(shù)不為 0)四種運(yùn)算都封閉。 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 根據(jù)數(shù)集對(duì)運(yùn)算的封閉情況，可以得到兩類數(shù)集： 數(shù)環(huán) 和 數(shù)域 。 一、數(shù)環(huán) 定義 1： 若 P是由一些復(fù)數(shù)組成的非空集合，若數(shù)集 P對(duì)加、 減、乘三種運(yùn)算都封閉，即對(duì) ?a， b∈ P， 總有 a+b， ab， a?b∈ P， 則稱數(shù)集 P是一個(gè) 數(shù)環(huán) 。 例如：整數(shù)集 Z、有理數(shù)集 Q、實(shí)數(shù)集 R、復(fù)數(shù)集 C都是數(shù)環(huán)。 例 1 除了以上數(shù)環(huán)外，是否還有其他數(shù)環(huán)？有沒(méi)有最小數(shù)環(huán)？ 例 2 一個(gè)數(shù)環(huán)是否一定包含 0元？除零環(huán)外，是否還有只包含 有限個(gè)元素的數(shù)環(huán)？ 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 例 3 證明 P { 2 a b 2 | a , b Z }? ? ?是包含 2 的最小數(shù)環(huán)。 二、數(shù)域 定義 2： 若 P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包含 0和 1，如 果數(shù)集 P對(duì)加、減、乘、除 (除數(shù)不為 0)四種運(yùn)算都封閉， 則稱數(shù)集 P是一個(gè) 數(shù)域 。 定義 3： 若 P是一個(gè)數(shù)環(huán)，如果 ① 數(shù)集 P內(nèi)含有一個(gè)非零數(shù) ② 對(duì) ?a， b∈ P， 且 b≠ 0， 有 a/b ∈ P， 則稱數(shù)集 P是一個(gè) 數(shù)域 。 例如：有理數(shù)集 Q、實(shí)數(shù)集 R、復(fù)數(shù)集 C都是數(shù)域。 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 例 4 證明 Q( 2 ) { a b 2 | a , b Q }? ? ?是一個(gè)數(shù)域。 例 5 設(shè) 1P { a b 2 | a , b Q }? ? ?2P { a 3 | a , b Q }? ? ?P { a b 2 c 3 d 6 | a , b , c , d Q }? ? ? ? ?證明 P2， P是一個(gè)數(shù)域，而且 P是包含 P1和 P2的最小數(shù)域。 例 6 證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域 Q。 例 7 在 Q與 R之間是否還有別的數(shù)域 ?R與 C之間呢？ 例 8 設(shè) F1和 F2是兩個(gè)數(shù)域，證明： 1） F1∩F2是一個(gè)數(shù)域； 2） F1∪ F2是數(shù)域的充分必要條件是 F1? F2或 F2? F1。 多項(xiàng)式 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 一、一元多項(xiàng)式的定義 定義 1： 設(shè) x 是一個(gè)文字 (或符號(hào) )， n 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)， 表達(dá)式 其中 a0， a1， … ， an全屬于數(shù)域 P，稱為 系數(shù)在數(shù)域 P 中的 一元多項(xiàng)式 ，或簡(jiǎn)稱為 數(shù)域 P 上的一元多項(xiàng)式 。 定義 1在以下兩方面推廣了中學(xué)的多項(xiàng)式定義： 1) 這里的 x不再局限為實(shí)數(shù)，而是任意的文字或符號(hào)。 2) 多項(xiàng)式中的系數(shù)可以在任意數(shù)域中。 常數(shù)項(xiàng)，或稱 零次項(xiàng) 稱為首項(xiàng)， 其中首項(xiàng)系數(shù) an≠0 ???? ?????niiinnnn xaaxaxaxa00111 ?多項(xiàng)式 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 例如： 32f ( x ) 9 x 3x 2 x 1? ? ? ?是 Q上的一元多項(xiàng)式。 2f ( x ) x 2 x 3? ? ?是 R上的一元多項(xiàng)式。 2f ( x ) 5 x i x 3? ? ?是 C上的一元多項(xiàng)式。 而 3231 x 3 x 2x , 2 x ,x x 1? ????都不是多項(xiàng)式。 定義 2： 如果在多項(xiàng)式 f (x)與 g(x)中，除去系數(shù)為零的項(xiàng)外， 同次項(xiàng)的系數(shù)相等，那么就稱多項(xiàng)式 f (x) 或 g(x) 相等，記為 f (x) = g(x) 多項(xiàng)式 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 定義 3： 設(shè) 非負(fù)整數(shù) n 稱為多項(xiàng)式 f (x) 的 次數(shù) ，記為 例如： 2f ( x ) 3x 2 x 1? ? ?f (x) 3?( f ( x )) 2??( f ( x )) 0??幾類特殊的多項(xiàng)式： 零次多項(xiàng)式： 次數(shù)為 0的多項(xiàng)式，即非零常數(shù)。 零多項(xiàng)式： 系數(shù)全為 0的多項(xiàng)式，即 f (x)=0。對(duì)零多項(xiàng)式不 定義次數(shù)，因此，在使用次數(shù)符號(hào)時(shí)，總假定 f (x)≠0 。 首一多項(xiàng)式： 首項(xiàng)系數(shù)為 1的多項(xiàng)式。 ,0,)( 0111 ?????? ?? nnnnn aaxaxaxaxf ?nxf ?? ))((多項(xiàng)式 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 二、多項(xiàng)式的運(yùn)算 定義 4： 設(shè) 是數(shù)域 P上次數(shù)分別為 n和 m的多項(xiàng)式 (不妨假設(shè) m≤n)，則 多項(xiàng)式 f (x)和 g(x)的和，差為： 當(dāng) mn時(shí)，設(shè) bm+1=… =bn=0。 多項(xiàng)式 f (x)和 g(x)的乘積為： ,)(,)(01110111bxbxbxbxgaxaxaxaxfmmmmnnnn????????????????,)()()()()( 0011 baxbaxbaxgxf nnn ???????? ?? ??? ????mnsssjiji xbaxgxf0)()()(多項(xiàng)式 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 多項(xiàng)式的運(yùn)算 (加、減、乘 )滿足以下運(yùn)算規(guī)律： 加法交換律： f (x)+g(x) = g(x)+f (x) 加法結(jié)合律： [f (x)+g(x)]+h(x)=f (x)+[g(x)+h(x)] 乘法交換律： f (x)?g(x)=g(x)?f (x) 乘法結(jié)合律： [f (x)?g(x)]?h(x) = f (x)?[g(x)?h(x)] 乘法對(duì)加法的分配律： f (x)?[g(x)+h(x)]=f (x)?g(x)+f (x)?h(x) 乘法對(duì)減法的分配律： f (x)?[g(x)h(x)]=f (x)?g(x)f (x)?h(x) 多項(xiàng)式 167。 2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 三、多項(xiàng)式的次數(shù)定理 定理 1： 設(shè) f (x) ≠ 0， g(x) ≠ 0，則 ① 當(dāng) f (x) 177。 g(x) ≠ 0時(shí)，有 ② ? ?)