概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2講(已修改)
2025-02-01 07:40 本頁面
【正文】 ?頻率的定義及其性質(zhì) ?概率的定義及其性質(zhì) ?例題詳解 ?小結(jié) 第三節(jié) 頻率與概率 歷史上概率的三次定義 ① 古典定義 —— 概率的最初定義 ② 統(tǒng)計(jì)定義 ——基于頻率的定義 ③ 公理化定義 ——1930年后由前 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出 拋一枚硬幣，幣值面向上的可能性為多少？ 擲一顆骰子，出現(xiàn) 6點(diǎn)的可能性為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的可能性為多少？ 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的可能性有多大？ ?希望找到一個(gè)合適的數(shù)來表征事件在一次 試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小。 定義 ： 在相同的條件下，進(jìn)行了 n 次試驗(yàn)， 在這 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA 稱為 事件 A 發(fā)生的 頻數(shù) 。比值 n A / n 稱為事件 A 發(fā)生的 頻率 ，并記成 fn(A)= n A / n 。 一、頻率的定義及其性質(zhì) 頻率的性質(zhì) (1) 0? fn(A) ??1； (2) fn(S)＝ 1； (3)若 是兩兩互不相容的事件， 則 12, , , kA A AL1212()( ) ( ) ( )nkn n n kf A A Af A f A f A?? ? ?U UL UL實(shí)例 將一枚硬幣拋擲 5 次、 50 次、 500 次 , 各做 7 遍 , 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率 . 試驗(yàn) 序號 5?nHn f1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 Hn f50?n22 25 21 25 24 18 27 Hn50 0?n251 249 256 247 251 262 258 f 處波動較大在 21處波動較小在 21波動最小 隨 n的增大 , 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性 從上述數(shù)據(jù)可得頻率的特性： (2) （穩(wěn)定性） 拋硬幣次數(shù) n 較小時(shí) , 頻率 f 的隨機(jī)波動幅度較大 , 但 隨 n 的增大 , 頻率 f 呈現(xiàn)出 穩(wěn)定性 .即當(dāng) n 逐漸增大時(shí)頻率 f 總是在 附近擺動 , 且逐漸穩(wěn)定于 . (1)（波動性）頻率有 隨機(jī) 波動性 ,即對于同樣的 n, 所得的 f 不一定相同 。 歷史上曾有人做過試驗(yàn) ,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣，出現(xiàn)正反面的機(jī)會均等。 實(shí) 驗(yàn) 者 德 ?摩根 蒲 豐 K ?皮爾遜 K ?皮爾遜 n nH fn(H) 2048 4040 12022 24000 1061 2048 6019 12022 n—————拋擲次數(shù) nH————H發(fā)生的頻數(shù) fn(H)———H發(fā)生的頻率 )(Hf 的增大n .21頻率的穩(wěn)定性 在充分多次試驗(yàn)中 ,事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動 ,而且 ,試驗(yàn)次數(shù)越多 ,一般來說 擺動越小 .這個(gè)性質(zhì)叫做 頻率的穩(wěn)定性 . 重要結(jié)論 頻率當(dāng) n較小時(shí)波動幅度比較大 ,當(dāng) n逐漸增大時(shí) ,頻率趨于穩(wěn)定值 ,這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小 .它就是事件的 概率 . 概率的統(tǒng)計(jì)定義 因此， 概率是可以通過頻率來“測量”的 , 頻率是概率的一個(gè)近似 . 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在隨機(jī)試驗(yàn)中 ,若事件 A出現(xiàn)的頻率 m/n隨 定義
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