結(jié)構(gòu)動力學(xué)ppt課件(2)(已修改)
2025-01-27 08:04 本頁面
【正文】 1 2 ?? ???lldxxYxmtdxvxmT022202 )()()(c os21)(21 ???167。 106 近似法求自振頻率 能量法求第一頻率 —— Rayleigh法 根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動時(shí)，振動體系在任何時(shí)刻的動能 T 和應(yīng)變能 U 之和應(yīng)等于常數(shù)。 ※ 根據(jù)簡諧振動的特點(diǎn)可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動能具有最大值），動位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個(gè)特定時(shí)刻，根據(jù)能量守恒定律得： Umax=Tmax ω ※ 求 Umax ， Tmax ? ????? ??????????? ll dxxYEItdxxyEIU0220222)]([)(s i n2121 ??※ 求頻率 如梁上還有集中質(zhì)量 mi， 位移幅值 )c o s ()()s i n ()(),( ????? ????? txYyvtxYtxy設(shè)：. ??ldxxYxmT022m a x )()(21 ?? ???ldxxYEIU02m a x )]([21Yi為集中質(zhì)量 mi處的位移幅值。 ? ??? ???liilYmdxxYmdxxYEI022022)]([)]([?22 020[ ( ) ][ ( ) ]llE I Y x dxm Y x dx??????3 ※ 假設(shè)位移幅值函數(shù) Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)： 必須滿足運(yùn)動邊界條件： （鉸支端： Y=0；固定端： Y=0， Y180。=0） 盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計(jì)。 所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實(shí)際振型形狀大致接近；如正好與第 n 主振型相似，則可求的 ωn的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計(jì)算高頻率誤差較大。故 Rayleigh法主要用于求 ω1的近似解。 相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點(diǎn)少。 通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載 q（ x）（如自重）作用下的彈性曲線作為 Y（ x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載 q（ x）所作的功來代替，即 ?? l dxxYxqU 0 )()(21 ?????20202)]([)()(iillYmdxxYmdxxYxq?4 ?? ???lldxxYmdxxYEI02022)]([)]([?2）假設(shè)均布荷載 q作用下的撓度曲線作為 Y(x) )2(24)( 323 xlxlxEIqxY ???? ? 963 031224520202 120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqll?????mEIl 2??例 12 試求等截面簡支梁的第一頻率。 1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線 )()( xlxxY ??l mEIy x 滿足邊界條件且與第一振型相近 60/252lmE Il??42 120lmEI??mEIl 2??3）假設(shè) lxaxY ?s i n)( ?442222324lmEIlamlE I a ?????第一振型的精確解。 精 確 解 mEIl ??5 x h0 l 例 求楔形懸臂梁的自振頻率。 設(shè)梁截面寬度為 1，高度為 h=h0x/l。 解： 單位長度的質(zhì)量： 設(shè)位移形狀函數(shù)： 2)1()(lxaxY ??滿足邊界條件： 0)(,0)( ??? lYlY?? ???lldxxYmdxxYEI02022)]([)]([?????ElhlEh204202 ,25 ??Rayleigh 法所得 頻率的近似解總是比精確解偏高 。 其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實(shí)際振型曲線，迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動，相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。 當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實(shí)，則相當(dāng)于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實(shí)，即偏高量越小。 30121 ???????lxhIlxhm 0??截面慣性矩： 相比誤差為 3% 與精確解 ??Elh2?6 假設(shè)多個(gè)近似振型 n??? ???21 ,都滿足前述兩個(gè)條件。 將它們進(jìn)行線性組合 （ a a ?????????、 an是待定常數(shù)） n n a a a x Y ?? ? ? ? 2 2 1 1 ) ( ? ? ? 確定待定常數(shù)的準(zhǔn)則是： 獲得最佳的線性組合 ，這樣的 Y（ x）代入頻率計(jì)算公式中得到的 ω2 的值雖仍比精確解偏高，但對所有的 a1， a2， … ， an的可能組合，確實(shí)獲得了最小的 ω2值。 所選的 a1， a2， … ， an使 ω2 獲得最小值的條件是 ),2,1(,02niai??????? ?這是以 a1， a2， … ， an為未知量的 n個(gè)奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低 n 階頻率來。階次越低往往越準(zhǔn)。 為了使假設(shè)的振型盡可能的接近真實(shí)振型，盡可能減小假設(shè)振型對體系所附加的約束， Ritz 提出了改進(jìn)方法： 8 例：用 Rayleigh— Ritz 法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。 x l EIm解：懸臂梁的位移邊界條件為： （在左端） Y’=0 Y=0
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