【正文】 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【考情報(bào)告】 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【考向預(yù)測】 立體幾何是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查學(xué)生的空間想象能力，在推理中兼顧考查邏輯思維能力．從近三年的高考命題情況來看，選擇題和填空題主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，考查基本空間圖形的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用；解答題主要考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定及運(yùn)用，空間角主要考查線面角與二面角的計(jì)算，此時(shí)的計(jì)算常借助空間向量，將空間中的性質(zhì)及位置關(guān)系的判定與向量運(yùn)算相結(jié) 合，使幾何問題代數(shù)化．預(yù)測 20 14 年空間幾何體的三視圖與其表面積、體積相結(jié)合還是考查的熱點(diǎn)，二面角的求法仍是考查的重點(diǎn)，對(duì)異面直線所成的角、直線與平面所成的角在高考中有所加強(qiáng)，在復(fù)習(xí)時(shí)要引起足夠的重視． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【問題引領(lǐng)】 1 ． 關(guān)于直線 a ， b ， l 以及平面 α ， β ，下列命題中正確的是 ( ) ． A ．若 a ∥ α ， b ∥ β ，則 a ∥ b B ．若 a ∥ α ， b ⊥ a ，則 b ⊥ α C ．若 a ⊥ α ， a ∥ β ，則 α ⊥ β D ．若 a ? α ， b ? β ，且 l ⊥ a ， l ∥ b ，則 l ⊥ α 【解析】 A 中兩條直線可能異面； B 不正確； C 滿足 “ 一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線 ，則兩個(gè)平面互相垂直 ” ；D 中 l 可能在平面 α 內(nèi)． 【答案】 C 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 2 ． (2022 湖南卷 ) 已知棱長為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為 1 的正方形，則該正方體的正 ( 主 ) 視圖的面積 不可． ．能．等于 ( ) ． A ． 1 B. 2 C.2 － 12 D.2 ＋ 12 【解析】正 ( 主 ) 視圖轉(zhuǎn)化為長方形 A 1 ACC 1 的正投影，設(shè) A 1 C 1的正投影長為 l ，則 S ＝ 1 179。 l ＝ l ，可知 l ∈ [1 ， 2 ] ，故 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) S ∈ [1 ， 2 ] ，則2 － 12? [1 ， 2 ] ，故正 ( 主 ) 視圖的面積不可能等于2 － 12，故選 C. 【答案】 C 3 ．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積為 ________ ． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【解析】由三視圖知三棱錐有從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，所以可補(bǔ)形為一個(gè)長方體，長、寬、高均為2 ，故體對(duì)角線的長為 2 3 ，外接球的半 徑為 3 ，體積為 4 3π . 【答案】 4 3 π 4 ．如圖，在各棱長均為 2 的三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中，側(cè)面 A 1 ACC 1 ⊥ 底面 AB C ， ∠ A 1 AC ＝ 60 176。 . (1) 求側(cè)棱 AA 1 與平面 AB 1 C 所成角的正弦值的大?。? 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) (2) 已知點(diǎn) D 滿足 BD→＝ BA→＋ BC→，在直線 AA 1 上是否存在點(diǎn)P ，使 DP ∥ 平面 AB 1 C ？若存在，請確定點(diǎn) P 的位置；若 不存在，請說明理由． 【解析】 (1) ∵ 側(cè)面 A 1 AC C 1 ⊥ 底面 ABC ，作 A 1 O ⊥ AC 于點(diǎn)O ， ∴ A 1 O ⊥ 平面 AB C . 又 ∠ ABC ＝ ∠ A 1 AC ＝ 60 176。，且各棱長都相等， ∴ AO ＝ 1 ，OA 1 ＝ OB ＝ 3 ， BO ⊥ AC . 故以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz ， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 則 A (0 ，－ 1 ， 0) ， B ( 3 ， 0 ， 0) ， A 1 (0 ， 0 ， 3 ) ， C (0 ，1 ， 0) ， B 1 ( 3 ， 1 ， 3 ) ， ∴ AA 1→＝ (0 ， 1 ， 3 ) ， AB 1→＝ ( 3 ， 2 ， 3 ) ， AC→＝ (0 ， 2 ，0) ． 設(shè)平面 AB 1 C 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， 1) ， 則??? n 178。 AB1→＝ 3 x ＋ 2 y ＋ 3 ＝ 0 ，n 178。 AC→＝ 2 y ＝ 0 ，解得 n ＝ ( － 1 ， 0 ， 1) ． 由 cos 〈 AA 1→， n 〉＝AA 1→178。 n| AA 1→| 178。 | n |＝32 2＝64. 而側(cè)棱 AA 1 與平面 AB 1 C 所成角，即是向量 AA 1→與平面 AB 1 C 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 的法向量所成銳角的余角， ∴ 側(cè)棱 AA 1 與平面 AB 1 C 所成角的正弦值的大小為64. (2) ∵ BD→＝ BA→＋ BC→，而 BA→＝ ( － 3 ，－ 1 ， 0) ， BC→＝ ( － 3 ，1 ， 0) ， ∴ BD→＝ ( － 2 3 ， 0 ， 0) ． 又 ∵ B ( 3 ， 0 ， 0) ， ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( － 3 ， 0 ， 0) ． 假設(shè)存在點(diǎn) P 符合題意，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)可設(shè)為 (0 ， y ，z ) ， ∴ DP→＝ ( 3 ， y ， z ) ， AP→＝ (0 ， y ＋ 1 ， z ) ． ∵ DP ∥ 平面 AB 1 C ， n ＝ ( － 1 ， 0 ， 1) 為平面 AB 1 C 的法向量，由 DP→178。 n ＝ 0 ，得 z ＝ 3 . 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) ∴ 由 AP→＝ λ AA 1→，得?????y ＋ 1 ＝ λ ，z ＝ 3 λ ，∴ y ＝ 0 ， ∴ P (0 ， 0 ， 3 ) ． 又 DP ? 平面 AB 1 C ，故存在點(diǎn) P ，使 DP ∥ 平面 AB 1 C ，其坐標(biāo)為 (0 ， 0 ， 3 ) ，即點(diǎn) P 恰好為 A 1 點(diǎn)． 5 ． (2022 新課標(biāo)全國 Ⅰ 卷 ) 如圖，三棱柱 AB C — A 1 B 1 C 1中， CA ＝ CB ， AB ＝ AA 1 ， ∠ BAA 1 ＝ 60 176。 . (1) 證明： AB ⊥ A 1 C ； 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) (2) 若平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B ， AB ＝ CB ，求直線 A 1 C 與平面 BB 1 C 1 C 所成角的正弦值． 【解析】 (1) 取 AB 的中點(diǎn) O ，連接 OC ， OA 1 ， A 1 B . 因?yàn)?CA ＝ CB ，所以 OC ⊥ AB . 由于 AB ＝ AA 1 ， ∠ BAA 1 ＝ 60 176。，故 △ AA 1 B 為等邊三角形，所以 OA 1 ⊥ AB . 因?yàn)?OC ∩ OA 1 ＝ O ，所以 AB ⊥ 平面 OA 1 C . 又 A 1 C ? 平面 OA 1 C ，故 AB ⊥ A 1 C . (2) 由 (1) 知 OC ⊥ AB ， OA 1 ⊥ AB . 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 又平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B ，交線為 AB ，所以 OC ⊥ 平面AA 1 B 1 B ，故 OA ， OA 1 ， OC 兩兩相互垂直． 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA→的方向?yàn)?x 軸的正方向， | OA→| 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O － xyz . 由題設(shè)知 A (1 ， 0 ， 0) ， A 1 (0 ， 3 ， 0) ， C (0 ， 0 ， 3 ) ，B ( － 1 ， 0 ， 0) ． 則 BC→＝ (1 ， 0 ， 3 ) ， BB 1→＝ AA 1→＝ ( － 1 ， 3 ， 0) ， A 1 C→＝(0 ，－ 3 ， 3 ) ． 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 BB 1 C 1 C 的法向量， 則???n 178。 BC→＝ 0 ，n 178。 BB 1→＝ 0 ，即?????x ＋ 3 z ＝ 0 ，－ x ＋ 3 y ＝ 0.可取 n ＝ ( 3 ， 1 ，－1) ． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 故 cos 〈 n ， A 1 C→〉＝n 178。 A 1 C→| n || A 1 C→|＝－105. 所以 A 1 C 與平面 BB 1 C 1 C 所成角的正弦值為105. 6 ．在等腰梯形 PDCB ( 如圖 1) 中， DC ∥ PB ， PB ＝ 3 DC ＝ 3 ，PD ＝ 2 ， DA ⊥ PB ，垂足為 A ，將 △ PAD 沿 AD 折起，使得 PA⊥ AB ，得到四棱錐 P — A BCD ( 如圖 2) ． (1) 證明：平面 PAD ⊥ 平面 PCD ； (2) 點(diǎn) M 在棱 PB 上，平面 AMC 把四棱錐 P — ABC D 分成兩個(gè)幾何體 ( 如圖 2) ，當(dāng)這兩個(gè)幾何體的體積之比為 V PM － ACD ∶V M － ABC ＝ 5 ∶ 4 時(shí)，求PMMB的值． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【解析】 (1) ∵ 在圖 1 的等腰梯形 PDCB 中， DA ⊥ PB ， ∴ 在四棱錐 P — ABC D 中， DA ⊥ AB . 又 PA ⊥ AB ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD ， 又 DC ∥ AB ， ∴ DC ⊥ 平面 PAD . ∵ DC ? 平面 PC D ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 PCD . (2) ∵ DA ⊥ PA ，且 PA ⊥ AB ， ∴ PA ⊥ 平面 ABCD ， 又 PA ? 平面 PAB ， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 ABCD . 過 M 作 MN ⊥ AB ，垂足為 N ， 則 MN ⊥ 平面 ABCD . 在等腰梯形 P DCB 中， DC ∥ PB ， PB ＝ 3 DC ＝ 3 ， PD ＝ 2 ，DA ⊥ PB ， ∴ PA ＝ 1 ， AB ＝ 2 ， AD ＝ PD2－ PA2＝ 1. 設(shè) MN ＝ h ，則有 V M — ABC ＝13S △ ABC 178。 h ＝13179。12179。 AB 179。 DA 179。 h ＝13179。12179。 2 179。 1 179。 h ＝13h . 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) V P — ABCD ＝13S 梯形 ABCD 178。 PA ＝13179。（ DC ＋ AB ） 179。 AD2179。 PA ＝13179。1 ＋ 22179。 1 179。 1 ＝12. V PM — ACD ＝ V P — ABCD － V M — AB C ＝12－13h . ∵ V PM — ACD ∶ V M — ABC ＝ 5 ∶ 4 ， ∴ (12－13h ) ∶13h ＝ 5 ∶ 4 ，解得 h ＝23. 在 △ PAB 中，BMBP＝MNPA＝23， ∴ BM ＝23BP ， MP ＝13BP . ∴PMMB＝12. 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【診斷參考】 1 ． 線面位置關(guān)系的判斷或證明是立體幾何初步的重要內(nèi)容之一，也是高考的必考點(diǎn)，試題難度不大，經(jīng)常作為解答題的第一問出現(xiàn)，或以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．易錯(cuò)點(diǎn)是平面幾何知識(shí)有些不能遷移到立體幾何中，如兩條直線的位置關(guān)系有異面直線這種情況，垂直不一定相交，等等．在推證線面位置關(guān)系時(shí)，一定要嚴(yán)格遵循其判定定理或性質(zhì)定理，注意其成立條件，否則極易出錯(cuò) ． 2 ．空間幾何體的表面積、體積與三視圖的綜合是每年高考的必考內(nèi)容，此類問題解答易錯(cuò)點(diǎn)有三：一是對(duì)平行投影理解不到位，三視圖畫錯(cuò)，或由多面體的三視圖不能夠想象出空間幾何體的形狀，不能夠正確畫出其直觀圖；二是對(duì) 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 三視圖中的點(diǎn)、線、面與原幾何體間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不準(zhǔn)確；三是不記得或不能熟練掌握、應(yīng)用常見空間幾何體的表面積、體積公式，進(jìn)而造成錯(cuò)解． 3 ．對(duì)球的考查是每年高考的必考內(nèi)容，特別是空間幾何體的外接球、內(nèi)切球問題，一直是高考的熱點(diǎn)．解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問題或球與多面體的切、接問題，要特別