【正文】 第 1 頁 共 58（一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用 . 2. 集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法 . 集合元素的特征：確定性、互異性、無序性 . 集合的性質： ① 任何 一個集合是它本身的子集，記為 AA? ； ② 空集是任何集合的子集，記為 A?? ； ③ 空集是任何非空集合的真子集； 如果 BA? ，同時 AB? ，那么 A = B. 如果 CACBBA ??? ，那么， . [注 ]： ① Z= {整數 }（√） Z ={全體整數 } （179。） ② 已知集合 S 中 A 的補集是一個有限集，則集合 A 也是有限集 .（179。）（例： S=N； A= ?N ，則 CsA= {0}） ③ 空集的補集是全集 . ④ 若集合 A=集合 B，則 CBA = ? ， CAB = ? CS（ CAB） = D （ 注 ： CAB = ? ） . 3. ① {（ x， y） |xy =0， x∈ R， y∈ R}坐標軸上的點集 . ② {（ x， y） |xy＜ 0， x∈ R， y∈ R ? 二、四象限的點集 . ③ {（ x， y） |xy＞ 0， x∈ R， y∈ R} 一、三象限的點集 . [注 ]：①對方程組解的集合應是點集 . 例： ??? ?? ?? 132 3yx yx 解的集合 {(2， 1)}. ②點集與數集的交集是 ? . （例： A ={(x， y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 則 A∩ B =? ） 4. ① n 個元素的子集有 2n 個 . ② n 個元素的真子集有 2n － 1 個 . ③ n 個元素的非空真子集有 2n－ 2 個 . 5. ? ①一個命題的否 命題為真，它的逆命題一定為真 . 否命題 ? 逆命題 . ② 一個命題為真，則它的逆否命題一定為真 . 原命題 ? 逆否命題 . 例：①若 325 ???? baba 或，則 應是 真命題 . 解：逆否： a = 2 且 b = 3，則 a+b = 5，成立，所以此命題為真 . ② ，且 21 ?? yx 3??yx . 解：逆否： x + y =3 x = 1 或 y = 2. 21 ??? yx 且 3??yx ,故 3??yx 是 21 ?? yx 且 的既不是充分，又不是必要條件 . ? 小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍 . 3. 例：若 255 ??? xxx 或， ? . 4. 集合運算：交、并、補 . { | , }{ | }{ , }A B x x A x BA B x x A x BA x U x A? ? ?? ? ?? ? ?U交： 且并： 或補： 且C 5. 主要性質和運算律 第 2 頁 共 58 頁 （ 1） 包含關系：, , , , 。 , 。 , .UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?C （ 2） 等價關系： UA B A B A A B B A B U? ? ? ? ? ? ?C （ 3） 集合的運算律： 交換律： .。 ABBAABBA ???? ?? 結合律 : )()()。()( CBACBACBACBA ???????? ?? 分配律 :. )()()()。()()( CABACBACABACBA ?????????? ?? 01 律： , , ,A A A U A A U A U? ? ? ? ? ? ? 等冪律： ., AAAAAA ?? ?? 求補律： A∩ CUA=φ A∪ CUA=U ?CUU=φ ?CUφ =U 反演律： CU(A∩ B)= (CUA)∪ (CUB) CU(A∪ B)= (CUA)∩ (CUB) 6. 有限集的元素個數 定義：有限集 A 的元素的個數叫做集合 A 的基數，記為 card( A)規(guī)定 card(φ ) =0. 基本公式： ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( 2) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()c ard A B c ard A c ard B c ard A Bc ard A B C c ard A c ard B c ard Cc ard A B c ard B C c ard C Ac ard A B C? ? ?? ? ?? ? ?? (3) card(?UA)= card(U) card(A) (二 )含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 根軸 法 （零點分段法） ①將不等式化為 a0(xx1)(xx2)? (xxm)0(0)形式，并將各因式 x 的系數化“ +”； (為了統一方便 ) ②求根，并在數軸上表示出來； ③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什么？）； ④若不等式（ x 的系數化“ +”后）是“ 0”, 則找“線”在 x 軸上方的區(qū)間；若不等式是“ 0”, 則找“線”在 x 軸下方的區(qū)間 . ++x1 x 2 x 3 x m3 x m2 x m1 x m x （自右向左正負相間） 則不等式 )0)(0(0 022110 ??????? ?? aaxaxaxa nnnn ?的解可以根據各區(qū)間的符號 第 3 頁 共 58 頁 確定 . 特例① 一元一次不等式 axb 解的討論； ②一元二次不等式 ax2+box0(a0)解 的討論 . 0?? 0?? 0?? 二次函數 cbxaxy ??? 2 （ 0?a ）的圖象 一元二次方程 ? ?的根0 02? ???a cbxax 有兩相異實根 )(, 2121 xxxx ? 有兩相等實根 abxx 221 ??? 無實根 的解集)0( 02? ???a cbxax ? ?21 xxxxx ?? 或 ?????? ?? abxx 2 R 的解集)0( 02? ???a cbxax ? ?21 xxxx ?? ? ? （ 1）標準化：移項通分化為)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf ≥0( 或)()(xgxf≤0) 的形式， （ 2）轉化為整式不等式（組）??? ? ?????? 0)( 0)()(0)( )(。0)()(0)( )( xg xgxfxg xfxgxfxg xf （ 1）公式法： cbax ?? ,與 )0( ??? ccbax 型的不等式的解法 . （ 2）定義法：用“零點分區(qū)間法”分 類討論 . （ 3）幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題 . 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0) （ 1）根的“零分布”：根據判別式和韋達定理分析列式解之 . （ 2）根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解之 . （一） 映射與函數 1. 映射與一一映射 函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數 第 4 頁 共 58 頁 才是同一函數 . 數 反函數的定義 設函數 ))(( Axxfy ?? 的值域是 C，根據這個函數中 x,y 的關系，用 y 把 x 表示出，得到 x=? (y). 若對于 y 在 C 中的任何一個值，通過 x=? (y)， x 在 A 中都有唯一的值和它對應，那么， x=? (y)就表示 y是自變量， x是自變量 y的函數，這樣的函數 x=? (y) (y?C)叫做函數 ))(( Axxfy ?? 的反函數，記作 )(1 yfx ?? ,習慣上改寫成)(1 xfy ?? （二）函數的性質 ⒈函數的單調性 定義：對于函數 f(x)的定義域 I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1,x2, ?若當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2),則說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數； ? 若當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2),則說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數 . 若函數 y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，則就說函數 y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，這一區(qū)間叫做函數 y=f(x)的單調區(qū)間 .此時也說函數是這一區(qū)間上的單調函數 . 正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：（ 1 ）定義域在數軸上關于原點對稱是函數 )( xf 為奇函數或偶函數的必要不充分條件；（ 2 ） )()( xfxf ?? 或)()( xfxf ??? 是定義 域上的恒等式。 2 ．奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數的圖象關于 y 軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。 3. 奇函數在對稱區(qū)間同增同減；偶函數在對稱區(qū)間增減性相反 . 4 ．如果 )( xf 是偶函數，則 |)(|)( xfxf ? ，反之亦成立。若奇函數在 0?x 時有意義，則 0)0( ?f 。