【文章內容簡介】 ? .圖象的作法與平移： ① 據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線； ② 利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換； ③ 利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象 . 1. ? 等差、等比數列： 等差數列 等比數列 定義 常數）為 (}{1 daaPAa nnn ???? ? 常數）為 (}{ 1 qaaPGa nnn ??? ? 通項公式 na = 1a +（ n1） d= ka +（ nk） d=dn + 1a d knknn qaqaa ?? ?? 11 求和公式 ndanddnnnaaans nn)2(22)1(2)(1211???????? ????????????? )1(11)1()1(111qq qaaqqaqnas nnn 中項公式 A= 2ba? 推廣： 2 na = mnmn aa ?? ? abG ?2 。推廣： mnmnn aaa ?? ??2 性質 1 若 m+n=p+q 則 qpnm aaaa ??? 若 m+n=p+q，則 qpnm aaaa ? 。 等差數列 等比數列 定義 daa nn ???1 )0(1 ??? qqaa nn 遞推公式 daa nn ?? ?1 ； mdaa nmn ?? ? qaann 1?? ； mnmn qaa ?? 通項公式 dnaan )1(1 ??? 11 ?? nn qaa （ 0,1 ?qa ） 中項 2 knkn aaA ?? ??（ 0, * ?? knNkn ? ） )0( ?knknknkn aaaaG ??????（ 0, * ?? knNkn ? ） 前 n 項和 )(2 1 nn aanS ?? dnnnaS n 2 )1(1 ??? ? ?????????????? )2(111)1(111qq qaaqqaqnaS nnn 重要性質 ) ,(*qpnm Nqpnmaaaa qpnm ??? ????),( * qpnmNqpnmaaaa qpnm ??????? 第 11 頁 共 58 頁 2 若 }{nk 成 （其中 Nkn? ）則 }{nka也為 。 若 }{nk 成等比數列 （其中 Nkn? ），則 }{nka成等比數列。 3 ．nnnnn sssss 232 , ?? 成等差數列。 nnnnn sssss 232 , ?? 成等比數列。 4 )(1 1 nmnm aan aad nmn ??????? 11 aaq nn ?? ， mnmn aaq ?? )( nm? 5 ? 看數列是不是等差數列有以下三種方法： ① ),2(1 為常數dndaa nn ??? ? ② 2 11 ?? ?? nnn aaa ( 2?n ) ③ bknan ?? ( kn, 為常數 ). ? 看數列是不是等比數列有以下四種方法： ① )0,2(1 ??? ? 且為常數qnqaa nn ② 112 ?? ?? nnn aaa ( 2?n ， 011 ??? nnn aaa )① 注 ① ： i. acb? ，是 a、 b、 c 成等比的雙非條件，即 acb? a、 b、 c 等比數列 . ii. acb? （ ac＞ 0）→為 a、 b、 c 等比數列的充分不必要 . iii. acb ?? →為 a、 b、 c 等比數列的必要不充分 . iv. acb ?? 且 0?ac →為 a、 b、 c 等比數列的充要 . 注意：任意兩數 a、 c 不一定有等比中項，除非有 ac＞ 0，則等比中項一定有兩個 . ③ nn cqa ? ( qc, 為非零常數 ). ④ 正數列 { na }成等比的充要條件是數列 { nxalog }（ 1?x ）成等比數列 . ? 數列 { na }的前 n 項和 nS 與通項 na 的關系：??? ?? ???? )2()1(111 nss nasannn [注 ]： ① ? ? ? ?danddnaa n ?????? 11 1 （ d 可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若 d 不為 0，則是等差數列充分條件） . ② 等差 { na }前 n 項和 ndandBnAnSn ?????? ??????????? 22 122 → 2d 可以為零也可不 為零→為等差的充要條件→若 d 為零，則是等差數列的充分條件；若 d 不為零，則是等差數列的充分條件 . ③ 非零 ． ． 常數列既可為等比數列，也可為等差數列 .（不是非零，即不可能有等比數列） 第 12 頁 共 58 頁 2. ①等差數列依次每 k 項的和仍成等差數列，其公差為原公差的 k2 倍..., 232 kkkkk SSSSS ?? ； ②若等差數列的項數為 2 ? ???Nnn ，則 ，奇偶 ndSS ??1?? nnaaSS偶奇 ； ③ 若等差數列的項數為 ? ???? Nnn 12 ，則 ? ? nn anS 1212 ??? ，且 naSS ?? 偶奇 ，1??nnSS偶奇 得到所求項數到代入 12 ?? nn . 3. 常用公式：① 1+2+3 ? +n = ? ?21?nn ② ? ?? ?6 121321 2222 ?????? nnnn? ③ ? ? 22 1321 3333 ?????? ???? nnn? [注 ]：熟悉常用通項： 9， 99， 999， … 110 ??? nna ； 5， 55， 555， … ? ?11095 ??? nna. 4. 等比數列的前 n 項和公式的常見應用題： ? 生產部門中有增長率的總產量問題 . 例如，第一年產量為 a ，年增長率為 r ，則每年的產量成等比數列，公比為 r?1 . 其中第 n 年產量為 1)1( ?? nra ，且過 n 年后總產量為： .)1(1 ])1([)1(...)1()1( 12 rraarararaa nn ?? ?????????? ? ? 銀行部門中按復利計算問題 . 例如：一年中每月初到銀行存 a 元，利息為 r ，每月利息按復利計算，則每月的 a 元過 n 個月后便成為 nra )1(? 元 . 因此，第二年年初可存款： )1(. . .)1()1()1( 101112 rararara ???????? = )1(1 ])1(1)[1( 12r rra ?? ??? . ? 分期付款應用題： a 為分期付款方式貸款為 a 元； m 為 m 個月將款全部付清； r 為年利率 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11 11111......111 21 ?? ???????????????? ?? m mmmmmm r rarxrrxraxrxrxrxra 5. 數列常見的幾種形式： ? nnn qapaa ?? ?? 12 （ p、 q 為二階常數） ? 用特證根方法求解 . 具體步驟 ： ① 寫出特征方程 qPxx ??2 （ 2x 對應 2?na ， x 對應 1?na ），并設二根 21,xx ② 若 21 xx?可設 nnn xcxca 2211. ?? ，若 21 xx? 可設 nn xncca 121 )( ?? ； ③ 由初始值 21,aa 確定 21,cc . ? rPaa nn ?? ?1 （ P、 r 為常數） ? 用 ① 轉化等差，等比數列； ② 逐項選代； ③ 消去常數 n轉化為 nnn qaPaa ?? ?? 12 的形式，再用特征根方法求 na ； ④ 121 ??? nn Pcca （公式法）， 21,cc由 21,aa 確定 . 第 13 頁 共 58 頁 ① 轉化等差，等比： 1)(11 ?????????? ?? P rxxPxPaaxaPxa nnnn. ② 選代法： ?????? ?? rrPaPrPaa nnn )( 21 xPxaP rPP raa nnn ????????? ?? 1111 )(1)1(? rrPaP nn ?????? ?? Pr211 ?. ③ 用特征方程求解： ?????? ?? ?? 相減，rPaa rPaa nn nn 11 1?na 111 1 ??? ??????? nnnnnn PaaPaPaPaa ）（. ④ 由選代法推導結果： PrPP racPcaP racPrc nnn ???????????? ?? 1111 11112121 ）（，. 6. 幾種常見的數列的思想方法： ? 等差數列的前 n 項和為 nS ，在 0?d 時，有最大值 . 如何確定使 nS 取最大值時的 n 值，有兩種方法： 一是求使 0,0 1 ??? nn aa ，成立的 n 值；二是由 ndandSn )2(2 12 ???利用二次函數的性質求 n的值 . ? 如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前 n 項和可依照等比數列前 n 項和的推倒導方法：錯位相減求和 . 例如： ,...21)12,...(413,211 nn ?? ? 兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩