【正文】 第 1頁 小波變換在信號處理中的應用 一、從傅里葉變換到小波變換 二、連續(xù)小波變換 三、一維離散小波變換與重構 四、二維離散小波變換與重構 五、幾種常用小波 六、舉例（基于 Matlab環(huán)境） 第 2頁 小波分析是近 15年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時域分析和頻域分析。 時域分析的基本目標： 邊緣檢測和分割； 將短時的物理現(xiàn)象作為一個瞬態(tài)過程分析。 頻域分析的基本目標： 區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量。 一、從傅里葉變換到小波變換 第 3頁 一、從傅里葉變換到小波變換 （ 1）傅立葉變換的定義 1. 連續(xù)傅立葉變換對 離散傅立葉變換對 ? ? ? ?? ? ? ?:1:2jtjtFT F j f t e dtI FT f t F j e d?????????????????? ? ? ?? ?210210: 0 , 1 , ..., 11: 0 , 1 , ..., 1knNjNnnnknNjNnkDFT X k F f f e k NI DFT f X k e n NN??? ????? ? ? ?? ? ???第 4頁 2. 傅立葉變換的實質 傅里葉變換的實質是：把 f(t)這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對原函數(shù) f(t)的研究轉化為對其權系數(shù)，及傅里葉變換 F(ω)的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標準基是由正弦波及高次諧波組成的，因此它在頻域內是局部化的。 第 5頁 3. 傅立葉變換的局限性 由左圖我們看不出任何頻域的性質，但從右圖中我們可以明顯看出該信號的頻率成分，也可以明顯的看出信號的頻率特性。 雖然傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但不能把兩者有機的結合起來。 在實際信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。 第 6頁 （ 2）短時傅立葉變換 基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號看成一系列短時平穩(wěn)信號的疊加，這個過程是通過加時間窗來實現(xiàn)的。一般選用能量集中在低頻處的實的偶函數(shù)作為窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實現(xiàn)時間域的局部化性質。其表達式為： ? ? ? ? ? ?*, jtRS f t g t e d t?? ? ? ????其中“＊”表示復共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)是被分析的信號，在這個變換中， 起著頻限的作用， g(t)起著時限的作用。隨著時間 的變化， g(t)所確定的“時間窗”在 t軸上移動，使f(t)“逐漸” 進行分析。 jte ???第 7頁 g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)， 大致反映了 f(t)在 時刻ω頻率處“信號成分”的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為 在這一區(qū)域內的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口， 和 分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然 和 都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但 和 相互制約的。 （ 2）短時傅立葉變換 ? ?,S ??? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?、? ??? ???第 8頁 （ 3）小波變換 小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質。 小波變換提出了變化的時間窗。當需要精確的低頻信息時，采用長的時間窗，頻率分辨率高，當需要精確的高頻信息時，采用短的時間窗，時間分辨率高。 由此可知，小波變換采用的不是時間 頻率域，而是時間－尺度域。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。 第 9頁 （ 3）小波變換 第 10頁 (4) 小波的時間和頻率特性 運用小波基，可以提取信號中的 “ 指定時間 ” 和 “ 指定頻率 ”的變化。 ? 時間：提取信號中 “ 指定時間 ” （時間 A或時間 B）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。 ? 頻率：提取信號中時間 A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間 B的比較快速變化，稱較高頻率成分。 時間 A 時間 B 第 11頁 (5) 小波的 3 個特點 ? 小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質） ? 小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等） ? 小波變換比快速 Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為 M時， Fourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式： 第 12頁 (6) 小波基表示發(fā)生的時間和頻率 Fourier變換的基（上）小波變換基（中） 和時間采樣基（下） 傅里葉變換 (Fourier)基 小波基 時間采樣基 第 13頁 二、連續(xù)小波變換 )()( 2 RLt ?? ?????????? d2)(?)(t? )(???)(t?設函數(shù) ，如果滿足： 則稱 為一個基本小波和小波母函數(shù)，式中 為函數(shù) 的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。 1. 連續(xù)小波變換 )()( 21, a btatba ?? ? ?? Rb? }0{?? Ra)(t? ba,ab )(, tba?令： ， 稱為基本小波或母小波 (Mother Wavelet) 依賴于 生成的連續(xù)小波。式中 為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀； 為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波 在時域空間和頻域空間上都具有局部性，其作用等同于 短時傅立葉變換中的窗函數(shù)。 第 14頁 二、連續(xù)小波變換 因此函數(shù) f(t)的小波變換為： 尺度因子 小波 平移參數(shù) ? ????? ? Rbaf dta bttfafbaW )()(,),( 21, ??)(t?