【正文】 第三章 時域分析法 ? 建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型之后，下一步就是對系統(tǒng)的控制 性能進行全面的分析和計算。 ? 常用的方法 : 時域分析法，根軌跡法，頻率法 。 ? 時域分析法是最基礎、最常用的方法。 第一節(jié) 典型控制過程及性能指標 系統(tǒng)的響應 C(t)取決于：參數(shù)結構 , 外作用 , 初始條件。 為了描述系統(tǒng)的內部特征，分析和比較系統(tǒng)性能的優(yōu)劣， 通常對外作用和初始條件做一些典型化處理。處理的 原 則是：接近實際，簡單。 第一節(jié) 典型控制過程及性能指標 一、 典型初始狀態(tài) 零狀態(tài) 。 C(0) = ?(0) = ? = 0 系統(tǒng)的輸出及其各階導數(shù)在初始時刻均為零。 初始時刻可以設定，所以該約束并不苛刻。 二、典型外作用 1． 單位階躍 指令的突然轉換 ,開關閉合 ,負荷突變。 2． 單位斜坡 主拖動系統(tǒng)發(fā)出的位置信號 , 數(shù)控機床加工斜面時的給進指令。 3． 單位脈沖 脈動電壓、沖擊力。 4． 正弦 海浪、噪聲、伺服震動臺。 所有外作用都可以近似成典型外作用或典型外作用的集合 . 三、典型時間響應 初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型外作用下的輸出。 1． 單位階躍響應 H(S)=G(S)/S h(t)= L1[H(S)] 2． 單位斜坡響應 Ct(S)=G(S)/S2 Ct(t)= L1[Ct(S)] 3． 單位脈沖響應 K(S)= G(S) k(t)= L1[K(S)] 4．三種響應之間的關系 K(S)= SH(S)= S2Ct(S) 第一節(jié) 典型控制過程及性能指標 四、階躍響應的性能指標 跟蹤和復現(xiàn)階躍作用對系統(tǒng)來說是較為嚴格的工作條件， 通常以階躍響應來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義時域性能 指標。 階躍響應的性能指標 td h(t)從 0上升到穩(wěn)態(tài)值所需的 時間。 2． 峰值時間 tp h（ t）超過穩(wěn)態(tài)值而達到第 一個峰值所需的時間。 階躍響應的性能指標 3． 超調量 σ % h（ tp） h（ ∞ ） ζ % = ———————— 100% h（ ∞ ） 4． 調節(jié)時間 (過渡過程時間 )tS h(t)達到并不再超出誤差帶的最小時間。 5． 穩(wěn)態(tài)誤差 eSS eSS= 1 h（ ∞ ） 階躍響應的性能指標 上升時間 td 和 峰值時間 tp 表 征系統(tǒng)響應初始階段的快慢 , 調節(jié)時間 ts表征系統(tǒng)過渡過程 持續(xù)的時間， 總體上反映了系統(tǒng) 的快速性。 超調量 ζ % 反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性。 穩(wěn)態(tài)誤差 eSS反映系統(tǒng)的最終控 制精度。 第二節(jié) 一階系統(tǒng)分析 一階系統(tǒng)的微分方程： T dC(t)/ dt + C(t)= r(t) 一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 1 G(S)= (TS + 1) T—— 時間常數(shù) , 表征系統(tǒng)的慣性，盡管物理意義不 同，但總具有“秒”的量綱。 一、 一階系統(tǒng)的單位階躍響應 H(S)= G(S)R(S) = 1/[S(TS+1)] h(t)= L1[H(S)] = L1{1/[S(TS+1)]} = 1 et/T T是表征響應特性的唯一參數(shù)。 關于時間常數(shù) T h(t) = 1 e t/T t= T， h( T)= t=2T， h(2T)= t=3T， h(3T)= t=4T， h(4T)= 用實驗方法鑒別和確定被測系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)。 時間常數(shù)的倒數(shù) = 響應曲線的初始斜率。 dh(t)/dt︱ t=0= (1/T) e t/T︱ t=0 = 1/ T 一階系統(tǒng)的性能指標 調節(jié)時間 : tS= 3T （秒） （對應 5%誤差帶） h(3T)= tS= 4T （秒） （對應 2%誤差帶） h(4T)= T越小 → tS越小 → 快速性越好。 穩(wěn)態(tài)誤差 : eSS= 1 h（ ∞ ） = 0 一階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為 0。 二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應 Ct(S)= G(S)R(S) = 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L1[Ct(S)] = t T + et/T 穩(wěn)態(tài)誤差 : eSS= T 一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為 T。它只能通過 減小時間常數(shù) T來減小，而不能最終消除。 三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 K（ S） = G（ S） R（ S） = 1 /（ TS+1） k（ t） = L 1 [ K（ S） ] = et/T/T T越小 → 響應的持續(xù)時間越短 → 快速性越好。 四、三種響應之間的關系 δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)] 系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應 的導數(shù)。 第三節(jié) 二階系統(tǒng)分析 微分方程 ： T2dC2(t)/dt2 + 2ζ TdC(t)/dt + C(t) = r(t) 傳遞函數(shù) ： G(S)=1/(T2S2 + 2ζ TS + 1) = Wn2/(S2 + 2ζ WnS + Wn2) 其中 : Wn=1/T—— 自然頻率 , ζ —— 阻尼比 。 特征方程 ： S2 + 2ζ WnS + Wn2 = 0 第三節(jié) 二階系統(tǒng)分析 特征根： S1,2= ζ Wn 177。 Wn(ζ 2 1)1/2 ζ 1, S1,2不等負實根（過阻尼） ζ =1, S1,2重根（臨界阻尼） 0ζ 1, S1,2共軛復根（欠阻尼 ) ζ 不同時的特征根和階約響應 t1)( th1??1??10 ?? ??j0?s 平 面0t1)( th?j0?0t1)( th?j0?0圖 3 1 0 　 ζ 不 同 時 的 特 征 根 的 分 布 情 況及 單 位 階 躍 響 應0??10 ??? ?1???t1)( th?j0?0t1)( th?j0?0t1)( th?j0?0一、 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 1． ζ 1（過阻尼） S1,2不等負實根 , 特征方程可寫成 : S2 + 2ζ WnS + Wn2 = (S+1/T1)(S+1/T2) = 0 其中 : T1=1/{Wn[ζ (ζ 21)1/2]} T2=1/{Wn[ζ +(ζ 21)1/2]} 且 : Wn2 = 1/T1T2 1/T1T2 1 G(S) = = (S+1/T1)(S+1/T2) (T1S+1)(T2S+1) 可看成是兩個時間常數(shù)不等的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián) . 過阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 H(S)= G(S)R(S) 1 = (T1S+1)(T2S+1)S 過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應 et/T1 et/T2 h(t) = 1 + + T2/T1 1 T1/T2 1 響應是非振蕩的 , 又不同于一階系統(tǒng) (兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián) ). 過阻尼 二階系統(tǒng)的性能指標 td, tp,ζ %無意義 , ess = 0 ts表達式太繁 , 近似式為 : 當 T1= T2 (ζ = 1)時 , ts≈ 1 當 T1= 4T2(ζ = )時 , ts≈ 1 當 T1＞ 4T2(ζ ＞ )時 , ts≈ 3T 1 系統(tǒng)的一個負實根 (1/T2)比另一個 (1/T1)大 4倍以上 , 等效 為一個一階系統(tǒng) . 欠阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 2． 0ζ 1（欠阻尼） S1,2 = ζ Wn177。 jWn(1ζ 2)1/2 H(S)= G(S)R(S) = Wn2/[(S+S1)(S+S2)S] e – ζ Wnt h(t)= 1 ———— sin（ wdt +θ ） （ 1ζ 2)1/2 其中： Wd= Wn(1ζ 2)1/2 有阻尼的自然振蕩頻率 θ = COS1ζ 欠阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 e– ζ Wnt h(t)=1 ———— sin(wdt+θ ) (1ζ 2)1/2 衰減速度： eζ Wnt. ζ Wn越小，衰減速度越慢。 振蕩頻率： Wd= Wn(1ζ 2)1/2. Wn越大 ,ζ 越小 ,振蕩頻率越高 . 欠阻尼 二階系統(tǒng)的性能指標 1．上升時間 tr 由定義 , h(tr) = 1, 即 : e ζ Wntr 1 ———— sin（ wdtr +θ ） = 1 (1ζ 2)1/2 sin（ wdtr +θ ） = 0 wdtr +θ = nЛ 第一次穩(wěn)態(tài) n=1 tr =（ Л θ ） / wd 欠阻尼 二階系統(tǒng)的性能指標 上升時間定性分析 : tr =（ Л θ ） / wd wn↗→w d= wn(1ζ 2)1/2 ↗→t r ↘ ζ ↘→ θ =