【正文】 第 8章 相關與回歸分析 變量間關系的度量 一元線性回歸 多元線性回歸 2021年 學習目標 ? 相關關系的分析 ? 參數(shù)的最小二乘估計 ? 回歸直線的擬合優(yōu)度 ? 用 Excel 進行回歸 2021年 子代與父代一樣嗎？ ? Galton被譽為現(xiàn)代回歸和相關技術的創(chuàng)始人 。 1875年 ，Galton利用豌豆實驗來確定尺寸的遺傳規(guī)律 。 他挑選了 7組不同尺寸的豌豆 ， 并說服他在英國不同地區(qū)的朋友每一組種植 10粒種子 ， 最后把原始的豌豆種子 (父代 )與新長的豌豆種子 (子代 )進行尺寸比較 ? 當結果被繪制出來之后 ， 他發(fā)現(xiàn)并非每一個子代都與父代一樣 ， 不同的是 ， 尺寸小的豌豆會得到更大的子代 ， 而尺寸大的豌豆卻得到較小的子代 。 Galton把這一現(xiàn)象叫做“ 返祖 ” (趨向于祖先的某種平均類型 )， 后來又稱之為“ 向平均回歸 ” 。 一個總體中在某一時期具有某一極端特征 (低于或高于總體均值 )的個體在未來的某一時期將減弱它的極端性 (或者是單個個體或者是整個子代 )， 這一趨勢現(xiàn)在被稱作 “ 回歸效應 ” 。 人們發(fā)現(xiàn)它的應用很廣 ， 而不僅限于從一代到下一代豌豆大小問題 2021年 子代與父代一樣嗎？ ? 正如 Galton進一步發(fā)現(xiàn)的那樣 ， 平均來說 ， 非常矮小的父輩傾向于有偏高的子代；而非常高大的父輩則傾向于有偏矮的子代 。 在第一次考試中成績最差的那些學生在第二次考試中傾向于有更好的成績 (比較接近所有學生的平均成績 )， 而第一次考試中成績最好的那些學生在第二次考試中則傾向于有較差的成績 (同樣比較接近所有學生的平均成績 )。 同樣 ， 平均來說 ， 第一年利潤最低的公司第二年不會最差 ， 而第一年利潤最高的公司第二年則不會是最好的 ? 如果把父代和子代看作兩個變量 ， 找出這兩個變量的關系 ，并根據(jù)這種關系建立適當?shù)臄?shù)學模型 ， 就可以根據(jù)父代的數(shù)值預測子代的取值 ， 這就是經(jīng)典的回歸方法要解決的問題 。 學完本章的內容你會對回歸問題有更深入的理解 2021年 回歸分析研究什么？ ? 研究某些實際問題時往往涉及到多個變量 。 在這些變量中 ， 有一個變量是研究中特別關注的 ， 稱為因變量 ， 而其他變量則看成是影響這一變量的因素 ， 稱為自變量 ? 假定因變量與自變量之間有某種關系 ， 并把這種關系用適當?shù)臄?shù)學模型表達出來 ， 那么 ， 就可以利用這一模型根據(jù)給定的自變量來預測因變量 ， 這就是回歸要解決的問題 ? 在回歸分析中 ， 只涉及一個自變量時稱為一元回歸 ， 涉及多個自變量時則稱為多元回歸 。 如果因變量與自變量之間是線性關系 ， 則稱為 線性回歸 (linear regression)；如果因變量與自變量之間是非線性關系則稱為 非線性回歸 (nonlinear regression) 變量間的關系 相關關系的描述與測度 相關系數(shù)的顯著性檢驗 變量間關系的度量 2021年 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y 函數(shù)關系 1. 是一一 對應的確定關系 2. 設 有兩個變量 x 和 y ， 變量 y 隨變量 x 一起變化 ， 并完全依賴于 x ， 當變量 x 取某個數(shù)值時 ， y 依確定的關系取相應的值 ， 則稱 y 是 x 的函數(shù) ， 記為 y = f (x)， 其中 x 稱為自變量 ， y 稱為因變量 3. 各 觀測點落在一條線上 變量間的關系 2021年 變量間的關系 （函數(shù)關系） ? 函數(shù)關系的例子 ? 某種商品的銷售額 (y)與銷售量 (x)之間的關系可表示為 y = p x (p 為單價 ) ? 圓的面積 (S)與半徑之間的關系可表示為 S = ? R2 ? 企業(yè)的原材料消耗額 (y)與產(chǎn)量 (x1) 、 單位產(chǎn)量消耗 (x2) 、 原材料價格 (x3)之間的關系可表示為 y = x1 x2 x3 2021年 相關關系 (幾個例子 ) ? 子女的身高與其父母身高的關系 ? 從遺傳學角度看 ， 父母身高較高時 ， 其子女的身高一般也比較高 。但實際情況并不完全是這樣 ， 因為子女的身高并不完全是由父母身高一個因素所決定的 ， 還有其他許多因素的影響 ? 一個人的收入水平同他受教育程度的關系 ? 收入水平相同的人 ， 他們受教育的程度也不可能不同 ， 而受教育程度相同的人 ， 他們的收入水平也往往不同 。 因為收入水平雖然與受教育程度有關系 ， 但它并不是決定收入的惟一因素 ， 還有職業(yè) 、 工作年限等諸多因素的影響 ? 農作物的單位面積產(chǎn)量與降雨量之間的關系 ? 在一定條件下 ， 降雨量越多 ， 單位面積產(chǎn)量就越高 。 但產(chǎn)量并不是由降雨量一個因素決定的 ， 還有施肥量 、 溫度 、 管理水平等其他許多因素的影響 ? 商品的消費量 (y)與居民收入 (x)之間的關系 ? 商品銷售額 (y)與廣告費支出 (x)之間的關系 2021年 相關關系 (correlation) 1. 一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定 2. 對大量的數(shù)據(jù)觀察研究 ，就會發(fā)現(xiàn)許多變量之間存在這一定的客觀規(guī)律 。 3. 當變量 x 取某個值時 ， 變量 y 的取值對應著一個 分布 4. 各觀測 點分布在直線周圍 y ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 2021年 相關分析就是對兩個變量之間線性關系的描述與度量，解決的主要問題： ?變量之間是否存在關系？ ?如果存在關系，是什么樣的關系？ ?變量之間的關系強度如何？ ?樣本所反映的變量之間的關系能否代表總體變量只見到關系？ 2021年 ? ? ? ? ? ? ? 完全負線性相關 完全正線性相關 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 散點圖 (scatter diagram) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不相關 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 負線性相關 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正線性相關 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 非線性相關 相關關系的描述與測度 2021年 相關關系的類型 相關關系 非線性相關 線性相關 正相關 正相關 負相關 負相關 完全相關 不相關 2021年 用散點圖描述變量間的關系 (例題分析 ) 【 例 】 一家大型商業(yè)銀行在多個地區(qū)設有分行 ， 其業(yè)務主要是進行基礎設