統(tǒng)計-抽樣與參數(shù)估計(已修改)
2025-05-26 02:04 本頁面
【正文】 第 6章 抽樣（ Sampling） 與參數(shù)估計 (Estimate) 重點：深刻理解抽樣分布的概念及中心極限定理的意義，靈活掌握均值和比例的區(qū)間估計方法的應用。 難點：在不同條件下的區(qū)間估計 。 ? 抽樣法的特點：隨機原則 部分估計總體 存在誤差并可以控制 ? 抽樣法的應用：對某些不可能進行全面調查而又需要了解其 全面情況的社會經(jīng)濟現(xiàn)象，必須應用抽樣法。（破壞性試驗、總體過大、單位過于分散，實際調查不可能的） 第 1節(jié) 抽樣與抽樣分布 一、有關抽樣的基本概念 ? 總體（母體） (Population) ? 樣本（子樣） (Sample) ? 總體指標 (總體參數(shù) )（ Population parameter） ? 樣本指標 (樣本統(tǒng)計量 )（ Sample statistic） 抽樣方法 ? 重置抽樣 （重復抽樣） (Sampling with replacement) 要從總體 N個單位中隨機抽取一個容量為 n的樣本，每次從總體中抽取一個單位，把順序號登記下來之后，重新放回參加下一次抽選，連續(xù)反復抽取 n次組成所要求容量的樣本。 ? 不重置抽樣 （不重復抽樣） (Sampling without replacement) 要從總體 N個單位中隨機抽取一個容量為 n的樣本，每 次從總體中抽取一個單位，被抽中的單位不再放回參加下一次抽選，連續(xù)進行次便組成樣本。 ? 不重復抽樣所得樣本對總體的代表性較大，抽樣誤差較小，所以實踐中通常采用不重復抽樣。 概率抽樣的組織方式 ? 簡單隨機抽樣 ： 從總體中抽取樣本最常用的方法。從容量為 N的總體中進行抽樣，如果容量為 n 的每個可能樣本被抽到的可能性相等，則稱容量為 n的樣本為簡單隨機樣本。 ? 分層抽樣：也稱分類抽樣或類型抽樣，它是按某個主要標志對總體各單位進行分類，然后從各層中按隨機原則分別抽取一定數(shù)目的單位構成樣本。 ? 等距抽樣 也稱機械抽樣或系統(tǒng)抽樣。它是先將總體單位按一定順序排隊，計算出抽樣間隔（或抽樣距離），然后按固定的順序和間隔抽取樣本單位。 ? 整群抽樣：也稱叢聚抽樣或集團抽樣。它是將總體分為若干部分 (每一部分稱為一個群 )，然后按隨機原則從中一群一群地抽選，對抽中群內的所有單位進行全面調查。 1. 總體中各元素的觀察值所形成的分布 2. 分布通常是未知的 3. 可以假定它服從某種分布 總體分布 (population distribution) 總體 1. 一個樣本中各觀察值的分布 2. 也稱經(jīng)驗分布 3. 當樣本容量 n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布 樣本分布 (sample distribution) 樣本 二、抽樣分布 (Sampling distribution) 抽樣分布的意義 ? 對統(tǒng)計量的所有可能取值及其對應概率的描述，就是統(tǒng)計量的抽樣分布，即 抽樣分布 。 ? 抽樣分布反映樣本統(tǒng)計量的分布特征，根據(jù)抽樣分布的規(guī)律，可揭示樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的關系，計算抽樣誤差，并說明抽樣推斷的可靠程度。 抽樣分布 (sampling distribution) 總體 計算樣本統(tǒng)計量 例如：樣本均值、比例、方差 樣本 例：樣本均值的抽樣分布 【 例 】 設一個總體 ， 含有 4個元素 (個體 ) ， 即總體單位數(shù) N=4。 4 個個體分別為 x1= x2= x3=3 、 x4=4 。 總體的均值 、 方差及分布如下 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 均值和方差 ????NxNii?)(122 ?????NxNii ??現(xiàn)從總體中抽取 n＝ 2的簡單隨機樣本，在重復抽樣條件下，共有 42=16個樣本。所有樣本的結果為 ? ?3,4 ?3,3 ?3,2 ?3,1 ?3 ?2,4 ?2,3 ?2,2 ?2,1 ?2 ?4,4 ?4,3 ?4,2 ?4,1 ?4 ?1,4 ?4 ?1,3 ?3 ?2 ?1 ?1,2 ?1,1 ?1 ?第二個觀察值 ?第一個 ?觀察值 ?所有可能的 n = 2 的樣本（共 16個） 計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布 ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?3 ?2 ?1 ? ? ?1 ?第二個觀察值 ?第一個 ?觀察值 ?16個樣本的均值（ x） X 樣本均值的抽樣分布 0 .1 .2 .3 P (X ) 樣本均值的分布與總體分布的比較 ? = σ2 = 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 抽樣分布 P ( X ) 0 .1 .2 .3 X ?X?6 2 ?X?樣本均值的抽樣分布 ? 樣本平均數(shù)的標準差反映了樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差，故稱之為 抽樣平均誤差 （或抽樣標準差）。計算公式： （重復抽樣） ? 可見，抽樣平均誤差與總體標準差成正比變化，與樣本容量的平方根成反比變化。 ? 當總體為正態(tài)分布時，對于任何樣本容量，樣本平均數(shù)的抽樣分布是正態(tài)分布。若總體方差 σ2未知，則可用樣本方差 s2取而代之 。 ? 樣本容量很大，無論總體分布如何，樣本平均數(shù)近似服從正態(tài)分布。 nx?? ?)1()1()1(22NnnNnnNnNnx ??????? ????樣本比例的抽樣分布 ? 當從總體中抽出一個容量為 n的樣本時，樣本比例服從二項分布。 ? 當 n→∞ 時 ， 二項分布趨近于正態(tài)分布 。 所以 ， 在大樣本下 ，若 np≥5且 n(1p) ≥5， 樣本比例 p近似服從正態(tài)分布 。 ? 比例的抽樣平均誤差 （ 重復抽樣 ） ? 式中 ， P為總體比例 ， 實際計算時通常采用以往經(jīng)驗數(shù)據(jù)或樣本比例 。 nPPp)1( ???)1()1()1()1( Nnn PPN nNn PPp ????????例：燈泡廠從 10000只燈泡中隨機抽取 500只檢查其耐用時數(shù)，結果如下表。該廠規(guī)定耐用時數(shù)在 850以下為不合格。求平均耐用時數(shù)及不合格率的抽樣平均誤差。 耐用時數(shù) 燈泡數(shù) x xf 800850 850900 900950 9501000 10001050 10501100 37 129 185 102 40 7 825 875 925 975 1025 1075 30525 112875 171125 99450 41000 7525 370000 322500 0 255000 400000 157500
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