高二數(shù)學(xué)橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程-文庫(kù)吧
2025-10-09 16:43 本頁(yè)面
【正文】 軸上進(jìn)行分類(lèi)討論，但要注意 a b 0 這一條件 ． 例 1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( 1 ) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( － 4 , 0 ) 和 ( 4 , 0 ) ，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( 5 , 0 ) ； ( 2 ) 焦點(diǎn)在 y 軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn) ( 0 , 2 ) 和 ( 1 , 0 ) ． 【 思路點(diǎn)撥 】 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) ， 要先判斷焦點(diǎn)位置 ， 確定出適合題意的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 ， 最后由條件確定出 a和 b即可 ． 【解】 ( 1) 由于橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． ∴ 2 a ＝ ? 5 ＋ 4 ?2＋ ? 5 － 4 ?2＝ 10 ， ∴ a ＝ 5. 又 c ＝ 4 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 16 ＝ 9. 故所求橢圓的方程為x225＋y29＝ 1. ( 2) 由于橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上， ∴ 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0) ． 由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( 0, 2 ) 和 (1 , 0) ， ∴??? 4a2＋0b2＝ 10a2＋1b2＝ 1?????? a2＝ 4 ，b2＝ 1. 故所求橢圓的方程為y24＋ x2＝ 1. 【方法小結(jié)】 ( 1) 當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓的方程才具有標(biāo)準(zhǔn)形式 ． 焦點(diǎn)在 x 軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0) ；焦點(diǎn)在y 軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0) ． 在這兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有 a b 0 ，焦點(diǎn)所在軸與 a2的分子相對(duì)應(yīng) ． 方程中的參數(shù) a ， b ， c 是橢圓所固有的，與坐標(biāo)系的建立無(wú)關(guān)，且始終滿(mǎn)足關(guān)系式 a2＝ b2＋ c2. ( 2) 用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程步驟如下： ① 作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上還是在 y 軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能 ． ② 設(shè)方程： ( ⅰ ) 依據(jù)上述判斷，設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) 或x2b2＋y2a2＝ 1( a b 0 ) ． ( ⅱ ) 在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè) mx2＋ ny2
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