學(xué)案與測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)蘇教版文科第4單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-文庫(kù)吧
2024-12-29 21:03 本頁(yè)面
【正文】 0=1或 x0=2,……………………………….12′ 故所求的切線方程為 4xy4=0或 xy+2=0………………………….14′ ),x(xxy 34 x 31y 02030 ??? 34 x32xxy 3020 ??? 34 x32xx24 3020 ???學(xué)后反思 （ 1）解決此類問題一定要分清是“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過某點(diǎn)的切線” . （ 2）解決“過某點(diǎn)的切線”問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo) (x0,y0),得出切線方程 yy0=f′(x0)(xx0),然后把已知點(diǎn)代入切線方程求 (x0,y0)，進(jìn)而求出切線方程 . 舉一反三 4. 已知拋物線 y=ax2+bx+c過點(diǎn) P（ 1， 1），且在點(diǎn) Q（ 2， 1）處與直線 y=x3相切，求實(shí)數(shù) a,b,c的值 . 解析 ： ∵ 曲線過點(diǎn) P(1,1), ∴ a+b+c=1,① 又 ∵ y′=2ax+b,∴ y′|x=2=4a+b,∴ 4a+b=1.② 又 ∵ 曲線過點(diǎn) Q（ 2,1） , ∴ 4a+2b+c=1,③ 聯(lián)立①②③得 a=3,b=11,c=9. 易錯(cuò)警示 【 例 】 已知曲線 上的點(diǎn) P（ 0,0） ,求過點(diǎn) P(0,0)的切線方程 . 錯(cuò)解 ∵ ∴ 在點(diǎn) x=0處不可導(dǎo)，因此過 P點(diǎn)的切線不存在 . 錯(cuò)解分析 本題的解法忽視了曲線在某點(diǎn)處的切線的定義 .在點(diǎn) P處的切線是指曲線在點(diǎn) P附近取點(diǎn) Q，當(dāng)點(diǎn) Q趨近于點(diǎn) P時(shí)，割線 PQ的極限位置的直線就是過點(diǎn) P的切線，因此過點(diǎn) P的切線存在，為 y軸（如下圖所示） . ? ?3 23x1xxxy???????3 xy ?3 xy ?正解 如右圖，按切線的定義，當(dāng) Δx→0時(shí)割線 PQ的極限位置為 y軸（此時(shí)斜率不存在），因此，過點(diǎn) P的切線方程為 x=0. 10 . (2022福建改編 )若曲線 f(x)=ax2+ln x存在垂直于 y軸的切線，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . 解析 : ∵ f(x)存在垂直于 y軸的切線， ∴ f′(x)=0有解， 即 有解 ,∴ ,∴ a∈ (∞,0). 考點(diǎn)演練 x12 a x(x) f ???0 12a x ?? x 22x1a ?11. 已知函數(shù) f(x)=2x3+ax與 g(x)=bx2+c的圖象都過 P(2,0),且在點(diǎn) P處有相同的切線 .求實(shí)數(shù) a,b,c的值 . 解析： ∵ f(x)過點(diǎn)（ 2,0） ,∴ f(2)=2 23+a 2=0,解得 a=8, 同理 g(2)=4b+c=0.∵ f′(x)=6x28, ∴ 在點(diǎn) P處切線斜率 k=f′(2)=6 228=16. 又 g′(x)=2bx,∴ 2b 2=16,∴ b=4， ∴ c=4b= a=8,b=4,c=16. 12. (2022寧夏 )設(shè)函數(shù) (a,b∈ Z),曲線 y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為 y=3. (1)求 f(x)的解析式； （ 2）證明函數(shù) y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心； （ 3）證明曲線 y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線 x=1和直線 y=x所圍三角形面積為定值，并求出此定值 . bx 1axf( x) ???解析 : (1) ?????????????????????????????. 38b, 49a1b1,a0,b)(21a3,b212a,b)(x1a( x )f22或解得于是 ∵ a,b∈ Z,∴ .1x1xf( x ) ??(2)證明 : 已知函數(shù) y1=x, 都是奇函數(shù)， ∴ 函數(shù) 也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形 .由 可知 f(x)的圖象是由 g(x)的圖象沿 x軸正方向向右平移 1個(gè)單位，再沿 y軸正方向向上平移 1個(gè)單位得到的 . 故函數(shù) f(x)的圖象是以點(diǎn) (1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形 . x1y2 ?x1xg (x ) ??1,1)(x 11)(x1x 1xf(x) ?????（ 3） 證明 ：在曲線上任取一點(diǎn) 由 f′(x0)= 知， 過此點(diǎn)的切線方程為 令 x=1,得 , ∴ 切線與直線 x=1的交點(diǎn)為（ 1, ） 令 y=x,得 x=2x01, ∴ 切線與直線 y=x的交點(diǎn)為 (2x01,2x01). 直線 x=1與 y=x的交點(diǎn)為 (1,1), 從而所圍三角形的面積為 所以所圍三角形的面積為定值 2. ,1x 1x,x000 ???????? ?20 1)(x11).x(x1)(x 111x 1xxy 0200020 ????????1x1xy00 ??1x1x00?2.|22x|12x 221|112x|11x 1x 21 00000 ?????第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（ Ⅰ ） 1. 函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于函數(shù) y=f(x)，如果在某區(qū)間上 f′(x)＞ 0,那么 f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù) 。如果 f′(x)＜ 0，那么 f(x)在該區(qū)間上是 減函數(shù) . 2. 函數(shù)的極值與最大值 （ 1）如果在 x0附近的左側(cè) f′(x) ＞ 0,右側(cè) f′(x) ＜ 0,且 f′(x0) = 0,那么 f(x0)是極大值； （ 2）如果在 x0附近的左側(cè) f′(x) ＜ 0,右側(cè) f′(x) ＞ 0,且 f′(x0) = 0,那么f(x0)是極小值 . （ 3）函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值 . （ 4）如果在函數(shù)定義域 I內(nèi)存在 x0,使得對(duì)任意的 x∈ I，總有f(x)≤f(x0) , 則稱 f(x0)為函數(shù)在定義域上的 最大值 . 基礎(chǔ)梳理 題型一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【 例 1】 已知 f(x)=exax1,求 f(x)的單調(diào)增區(qū)間 . 分析 通過解 f′(x)≥0,求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 . 解 ∵ f(x)=exax1,∴ f′(x)=exa. 令 f′(x)≥0,得 ex≥a, 當(dāng) a≤0時(shí)，有 f′(x)＞ 0在 R上恒成立； 當(dāng) a＞ 0時(shí)，有 x≥ln a. 綜上，當(dāng) a≤0時(shí)， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (∞,+∞)。 當(dāng) a＞ 0時(shí)， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［ ln a,+∞). 典例分析 學(xué)后反思 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就是解 f′(x)＞ 0或 f′(x)＜ 0，這些不等式的解就是使函數(shù)保持單調(diào)遞增或遞減的單調(diào)區(qū)間 . 對(duì)可導(dǎo)函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間的步驟如下： （ 1）求 f(x)的定義域； （ 2）求出 f′(x)； （ 3）令 f′(x)=0，求出全部駐點(diǎn)（補(bǔ)充定義 :若函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)=0，則稱點(diǎn) x0為函數(shù) f(x)的駐點(diǎn)）； （ 4）駐點(diǎn)把定義域分成幾個(gè)區(qū)間，列表考查在這幾個(gè)區(qū)間內(nèi) f′(x)的符號(hào)，因而可確定 f(x)的單調(diào)區(qū)間 . 舉一反三 1. 已知函數(shù) y=xln x,則其單調(diào)減區(qū)間為 . 解析 : 函數(shù)的定義域?yàn)?(0,+∞), y′=1 ,令 y′＜ 0,即 1 ＜ 0,得 0＜ x＜ 1, 故 f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 (0,1). 答案： (0,1) x1x1題型二 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 【 例 2】 已知函數(shù) f(x)=x3ax1. (1)若 f(x)在實(shí)數(shù)集 R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù) a,使 f(x)在 (1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出 a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由 . 分析 函數(shù)的增區(qū)間是 f′(x)≥0恒成立的區(qū)間，函數(shù)的減區(qū)間是 f′(x)≤0恒成立的區(qū)間（導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)為有限個(gè)） . 解 （ 1）由已知 f′(x)=3x2a, ∵ f(x)在（ ∞,+∞）上是單調(diào)增函數(shù)， ∴ f′(x)=3x2a≥0在 (∞,+∞)上恒成立， 即 a≤3x2對(duì) x∈ R恒成立 . ∵ 3x2≥0, ∴ 只需 a≤0. (2)由 f′(x)=3x2a≤0在 (1,1)上恒成立， 得 a≥3x2在 x∈ (1,1)上恒成立 . ∵ 1＜ x＜ 1,∴ 3x
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