【正文】 o ?低通o ?帶通o ?帶阻?o高通)j(a ΩH )j(a ΩH )j(a ΩH )j(a ΩH The Transform from ContinuousTime LowPass Filter to DiscreteTime Filter 首先 ， 把數(shù)字濾波器的性能要求轉換為與之相應的作為“ 樣本 ” 的模擬濾波器的性能要求 ， 根據(jù)此性能要求設計模擬濾波器 ， 這可以用查表的辦法 ， 也可以用解析的方法 。 然后 ， 通過脈沖響應不變法或雙線性變換法 ， 將此 “ 樣本 ” 模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器 H(z)。 我們討論采用雙線性變換法和脈沖響應不變法來設計低通濾波器的過程 。 例 56 用脈沖響應不變法設計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器 ， 采樣頻率為 fs=4 kHz（ 即采樣周期為 T=250μs） ， 其 3 dB截止頻率為 fc=1 kHz。 解 查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù) 322211)(ssssH Na ????然后 , 以 s/Ωc代替其歸一化頻率 ， 則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為 32 )/()/(2)/(211)(ccca sssssH ???????式中 ， Ωc=2πfc。 上式也可由巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù)求得 。 為了進行脈沖響應不變法變換，將上式進行因式分解并表示成如下的部分分式形式： 2/)31()3/(2/)31()3/()( 6/6/jsejsessH cjccjccca ???????????????? ? ??將此部分分式系數(shù)代入 (540)式就得到 12/)31(6/12/)31(6/1 1)3/(1)3/(1)( ????????? ???????? zeezeezezH jjcjjccccc ????????式中 ， ωc=ΩcT=2πfcT= 。 將上式兩項共軛復根合并 ， 得 22/12/1123c o s21623c o s26c o s231)(zeezezzezHcccccccc???????????????????????????????????????????????? 從這個結果我們看到 ， H(z)只與數(shù)字頻域參數(shù) ωc有關 ， 也即只與臨界頻率 fc與采樣頻率 fs的相對值有關 ， 而與它們的絕對大小無關 。 例如 fs=4kHz， fc=1 kHz與 fs=40 kHz， fc=10kHz的數(shù)字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數(shù) 。 這個結論適合于所有的數(shù)字濾波器設計 。 將 ωc=ΩcT=2πfcT=，得 2111 )(???? ??????? zzzzzH 這個形式正好適合用一個一階節(jié)及一個二階節(jié)并聯(lián)起來實現(xiàn) 。 脈沖響應不變法由于需要通過部分分式來實現(xiàn)變換 ， 因而對采用并聯(lián)型的運算結構來說是比較方便的 。 圖 518給出了脈沖響應不變法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響幅度特性 ， 同時給出例 55雙線性變換法設計的結果 。 由圖可看出 ， 脈沖響應不變法存在微小的混淆現(xiàn)象 ， 因而選擇性將受到一定損失 ， 并且沒有傳輸零點 。 圖 518 三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 1 . 00 . 50 0 . 5 ?)(ej ?H? ?01 . 0 2 . 0 f / k H z1 ： 脈 沖 響 應不 變 法2 ： 雙 線 性 變換 法12 下面我們總結利用模擬濾波器設計 IIR數(shù)字低通濾波器的步驟 。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率 ωc、 通帶衰減 αc、 阻帶截止頻率 ωs、 阻帶衰減 αs。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。 21ta n( )2TT??????如果采用雙線性變換法 ， 邊界頻率的轉換關系為 (3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器 Ha(s)，從 s平面轉換到 z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 一、脈沖相應不變法設計數(shù)字巴特沃思低通濾波器 例 57 設計一個巴特沃思低通數(shù)字濾波器 ， 給定抽樣頻率fs=10KHz,要求頻率小于 1KHz的通帶內(nèi) ， 幅度特性下降小于 1dB；在頻率大于 ， 衰減大于 15dB 解 （ 1） 求對應的各數(shù)字域頻率 : ① 數(shù)字低通的技術指標為 ωc=,αc=1dB。 ωs=,αs=15dB ② 模擬低通的技術指標為 33332 2 1 102 10 102 2 102 10 10cccsstst stsffTfffTf? ?? ? ?? ?? ? ???? ? ? ????? ? ? ??44142/1 / 10/ 10 , 1/ 10 , 15sccst stTTTfT dBT dB??? ? ?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ③設計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù) N及 3dB截止頻率 Ωc。 2221 0 1 033221 0 1 032 0 .11 ( )1 ( ) 20 l og ( ) 10 l og [ 1 ( ) ]2 10 3 10 10 l og [ 1 ( ) ] 1 10 l og [ 1 ( ) ] 152 10 1 ( ) 10 1 (aNcNacNNccNcHjHj?????????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??即：； 先用等號來滿足指標，可得； 32 1 .5333 10) 106 , 2 10 6 , 10NcccNNNNN? ????? ? ?? ? ?解此兩方程，可得： 。因為 是濾波器的階數(shù)，必須取整數(shù)，為了滿足指標，故應選比所求出 大一點的整數(shù)，取 代入通帶條件，得 ＝ ，即＝(4)用查表法 根據(jù)階數(shù) N=6， 查表 ， 得到歸一化傳輸函數(shù)為 2 3 4 5 61()1 3 . 8 6 3 7 7 . 4 6 4 1 9 . 1 4 1 6 7 . 4 6 4 1 3 . 8 6 3 7aHs s s s s s s? ? ? ? ? ? ? 為去歸一化，將 s=s/Ωc代入 Ha(s)中，得到實際的 傳輸函數(shù) Ha(s), 66 5 2 4 3 3 4 2 5 6() 3 . 8 6 3 7 7 . 4 6 4 1 9 . 1 4 1 6 7 . 4 6 4 1 3 . 8 6 3 7cac c c c c cHs s s s s s s?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 12630132 , 334 , 5(), 0 , 1 , ..., 5 ) 10 ) 10 ) 10()akjkcaHss e ksjsjsjHs?????????? ? ???????，另一種方法是求 的極點為： 其中左半平面的三對極點為： ＝（ ＝（ ＝（ 傳輸函數(shù)20 ( )()NcakkHsss?????為：即可得傳輸函數(shù)。(5)用脈沖響應不變法將 Ha(s)轉換成 H(z)。 首先將 Ha(s)進行部分分式 ， 并按照 (536)式 ， 可得到： 111 2 1 21120 .2 8 7 1 0 .4 4 6 6 2 .1 4 2 8 1 .1 4 5 4()1 0 .1 2 9 7 0 .6 9 4 9 1 1 .0 6 9 1 0 .3 6 9 91 .8 5 5 8 0 .6 3 0 41 0 .9 9 7 2 0 .2 5 7 0zzHzz z z zzzz??? ? ? ????? ? ???? ? ? ?????,jwze?當 即得到數(shù)字濾波器的頻率響應。圖 例 ——用脈沖響應不變法設計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 Example Determining Specifications for a DiscreteTime Filter We want the overall system of that figure to have the following properties when the sampling rate is samples/s ( ) 1. The gain should be within177。 of unity in the frequency band 2. the gain should be no greater than in the frequency band Such a set of lowpass specifications on can be depicted as in (a) , where the limits of tolerable approximation error are indicated by the shaded horizontal lines. For this specific example, the parameters would be 410Ts??0 2 ( 2022)????2 (30 0 0 )? ??? ?e ffHj?120 . 0 1 ,0 . 0 0 1 ,2 ( 2 0 0 0 )2 (3 0 0 0 )ps??????????410? ?e ffHj?Since the sampling rate is samples/s, the gain of the overall system is identically zero above , due to the ideal discretetocontinuous( D/C ) converter in The tolerance scheme for the discretetime filter is shown in (b). From Eq.(), it follows that in the passband the magnitude of the frequency response must approximate unity within an error of Where and radians . The other approximation band is the stopband, in which the magnitude response must approximate zero with an error less than In this example , and