【正文】 7 Filter Design Techniques Introduction Design of DiscreteTime IIR Filters from ContinuousTime Filters Design of FIR Filters by Windowing Comments on IIR and FIR DiscreteTime Filters Summary Introduction Filters are a particularly important class of linear timeinvariant systems. The design of filters involves the following stages: (1) the specification of the desired properties of the system, (2) the approximation of the specifications using a causal discretetime system, and (3) the realization of the system. 濾波器的設(shè)計(jì)步驟 ① 按照實(shí)際任務(wù)要求 ， 確定濾波器的性能指標(biāo) 。 ② 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求 。 根據(jù)不同要求可以用 IIR系統(tǒng)函數(shù) ， 也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近 。 ③ 利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù) 。 這里包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu) （ 如第 4章中的各種基本結(jié)構(gòu) ） ， 選擇合適的字長 （ 包括系數(shù)量化及輸入變量 、 中間變量和輸出變量的量化 ） 以及有效數(shù)字的處理方法 （ 舍入 、 截尾 ） 等 。 As shown in Section , if a linear timeinvariant discretetime system is used as in Figure , and if the input is bandlimited and the sampling frequency is high enough to avoid aliasing, then the overall system behaves as a linear timeinvariant continuoustime system with frequency response In such cases,it is straightforward to convert from specifications on the effective continuoustime filter to specifications on the discretetime filter through the relation . That is is specified over one period by the equation ? ? ? ? ,/0 , , /jTe ffH e THjT????? ???? ?????T???? ? ,j e f fH e H j T? ? ??????????? ?jHe???axtTT??xn ??yn ??ayt? ?jHe?/CD /DCThis type of conversion is illustrated in Example Basic system for discretetime filtering of continuoustime signals. 1 選頻濾波器的分類 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ) 。 在對(duì)信號(hào)的過濾 、 檢測(cè)與參數(shù)的估計(jì)等處理中 , 數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng) 。 數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng) 。 它將輸入的數(shù)字序列通過特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列 。 因此 ， 數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺(tái)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算機(jī) 。 由第 1章 ， 一個(gè)輸入序列 x(n)， 通過一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為 h(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)后 ， 其輸出響應(yīng) y(n)為 ?????????nmnxmhnhnxny )()()()()(將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 )()()( ??? jjj eHeXeY ?式中 ， Y(ejω)、 X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù) ， H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) 。 可以看出 ， 輸入序列的頻譜 X(ejω) 經(jīng)過濾波后 ， 變?yōu)閄(ejω)H(ejω)。 如果 |H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的 ， 則輸入信號(hào)中的這些頻率分量在輸出信號(hào)中將被抑制掉 。 因此 ， 只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的 ， 適當(dāng)選擇 H(ejω)， 使得濾波后的 X(ejω)H(ejω)符合人們的要求 ， 這就是數(shù)字濾波器的濾波原理 。 和模擬濾波器一樣 ， 線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通 、 高通 、 帶通和帶阻幾種形式 。 它們的理想模式如圖 51所示 。 （ 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) H(ejω)是以 2π為周期的 。 ) 圖 51 數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 )(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??)(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??)(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??)(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??( a )( b )( c )( d )低通高通帶通帶阻 滿足奈奎斯特采樣定理時(shí) ， 信號(hào)的頻率特性只能限帶于|ω|π的范圍 。 由圖 51可知 ， 理想低通濾波器選擇出輸入信號(hào)中的低頻分量 ， 而把輸入信號(hào)頻率在 ωcω≤π范圍內(nèi)所有分量全部濾掉 。 相反地 ， 理想高通濾波器使輸入信號(hào)中頻率在 ωc≤ω≤π范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過 ， 而濾掉低于 ωc 的低頻分量 。 帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量 。 2 濾波器的技術(shù)指標(biāo) 理想濾波器 (如理想低通濾波器 )是非因果的 ， 其單位脈沖響應(yīng)從 ∞延伸到 +∞， 因此 ， 無論用遞歸還是非遞歸方法 ， 理想濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的 ， 但在概念上極為重要 。 一般來說 ， 濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征 。 以低通濾波器為例 ， 如圖 52（ 稱容限圖 ） 所示 ， 頻率響應(yīng)有通帶 、 過渡帶及阻帶三個(gè)范圍 （ 而不是理想的陡截止的通帶 、 阻帶兩個(gè)范圍 ） 。 圖中 δ1為通帶的容限 ， δ2為阻帶的容限 。 圖 52 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的容限圖 1 ＋ ?11 － ?1)(ej ?H通帶 過渡帶 阻帶?2o1在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以最大誤差 177。 δ1逼近于 1，即 11 1|)(|1 ?? ? ???? jeH在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于 δ2而逼近于零，即 2|)(| ?? ?jeHωs≤|ω|≤π |ω|≤ωp 式中 ， ωp, ωs分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 ， 它們都是數(shù)字域頻率 。 幅度響應(yīng)在過渡帶 （ ωsωp） 中從通帶平滑地下降到阻帶 ， 過渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定 。 雖然給出了通帶的容限 δ1及阻帶的容限 δ2， 但是 ， 在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減 （ 波紋 ） Ap和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 As描述 ， Ap及 As的定義分別為： 2010lg20|)(|lg20|)(||)(|lg20)1l g (20|)(|lg20|)(||)(|lg20?????????????????ssppjjjpjjjpeHeHeHAeHeHeHA （ 53a） （ 53b） 式中 ， 假定 |H(ej0)|=1(已被歸一化 )。 例如 |H(ejω)|在 ωp 處滿足|H(ejωp)|=， 則 Ap=3 dB；在 ωs處滿足 |H(ejωs)|=， 則 As=60 dB（ 參考圖 52） 。 (注： lg是 log10的規(guī)范符號(hào)表示 。 ) FIR型濾波器和 IIR型濾波器 數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng) h(n)的時(shí)域特性可分為無限長脈沖響應(yīng) IIR（ Infinite Impulse Response） 濾波器和有限長脈沖響應(yīng)FIR（ Finite Impulse Response） 濾波器 。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其 N階遞歸型數(shù)字濾波器的差分方程為 ? ?? ?????MkNkkk knyaknxbny0 1)()()(（ 54） 式 （ 54） 中的系數(shù) ak至少有一項(xiàng)不為零 。 ak≠0 說明必須將延時(shí)的輸出序列反饋回來 ， 也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路 。 相應(yīng)的 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ????????NkkkMkkkzazbzH101)( （ 55） IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)在 Z平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)。 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)是有限長的 ， 即 0≤n≤N1， 該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) ， 但如果系統(tǒng)函數(shù)中出現(xiàn)零 、 極點(diǎn)相消時(shí) , 也可以有遞歸型的結(jié)構(gòu) (如頻率采樣結(jié)構(gòu) )。 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ?????10)()(NnnznhzH （ 56） 由式（ 56）可知， H(z)的極點(diǎn)只能在 Z平面的原點(diǎn)。 Design of DiscreteTime IIR Filters from ContinuousTime Filters 式（ 55）的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點(diǎn)表示如下： ?????????????????NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1()1(1)( 一般滿足 M≤N， 這類系統(tǒng)稱為 N階系統(tǒng) ， 當(dāng) MN時(shí) ， H(z)可看成是一個(gè) N階 IIR子系統(tǒng)與一個(gè) (MN)階的 FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián) 。 以下討論都假定 M≤N。 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù) ak, bk或零極點(diǎn)ck， dk和 A， 以使濾波器滿足給定的性能要求 。 利用模擬濾波器 首先 ， 設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器；然后 ， 變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器 。 這種方法很方便 ， 因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式 ， 并且設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表格化了 ， 設(shè)計(jì)起來既方便又準(zhǔn)確 。 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 ， 就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù) Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 因此 ， 它歸根結(jié)底是一個(gè)由 S平面映射到 Z平面的變換 ， 這個(gè)變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換 ， 這個(gè)映射變換必須滿足以下兩條基本要求： （ 1） H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(z)的頻率響應(yīng) ， 也即 S平面虛軸 jΩ必須映射到 Z平面的單位圓 ejω上 。 （ 2） 因果穩(wěn)定的 Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的 H(z)， 也即 S平面的左半平面 Re［ s］ 0必須映射到 Z平面單位圓的內(nèi)部 |z|1。 下面首先分別討論由模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的兩種常用的變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法 ， 然后介紹一下常用模擬低通濾波器的特性 。 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法明顯不同 ， 這將在下一章中介紹 。 Design of ContinuousTime Filters 常用的模擬原型濾波器有巴特沃思 （ Butterworth） 濾波器 、切比雪夫 （ Chebyshev） 濾波器 、 橢圓 （ Ellipse） 濾波器 、 貝塞爾（ Bessel） 濾波器等 。 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式 ， 現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用 。 這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動(dòng) ， 可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對(duì)前三種是最好的 , 但在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性 。 這樣根據(jù)具體要求可以選用不同類型的濾波器 。 圖 53 各種理想模擬濾波器的幅頻特性